HISTOIRE DES MATHS

1) Les équations chez les grecs

Les équations chez les Grecs et les Babyloniens. Les équations ont été crées par les Grecs et les Babyloniens. En outre, Diophante, mathématicien grec se fait passer pour l’inventeur de l’algèbre. D’après les spécialistes, Diophante aurait vécu et travaillé à Alexandrie, entre 150 J.C avant et 350 après J.C. Alexandrie bien que située en Egypte, était une ville Grecque : la lumière antique un formidable foyer scientifique. De Diophante, on a retrouvé que des fragments de sa grande œuvre : « LE LIVRE DES ARITHMETIQUES ». Il y traite diverses formes d’équations, du premier, du second et même du troisième degré. Il est semble-t-il le premier à avoir délaissé les figures géométriques, le premier à avoir introduit un symbolisme mathématique. Par exemple, il note 6 (le sigma grec) l’inconnue que nous notons x. Une équation diophantienne c’est une équation algébrique dont les inconnues sont des nombres entiers (naturels ou rationnels). Pour le peu qu’on croit savoir de lui a donné prétexte à une devinette : -Son enfance dura a 1/6 de sa vie; sa barbe poussa 1/12 de sa vie plus tard, après 1/7 de celle-ci, il se maria, 5 ans plus tard, il eut vécut la moitié de la vie de son père et mourut 4 ans avant lui, à quel âge est-il mort ? Solution : Avec x =durée de la vie, on écrit : Soit puis Qui donne Et enfin x=84 Diophante serait mort à 84 ans .

2) Les équations chez les Italiens.

Nous sommes au 15ème siècle en Italie, on trouve les mêmes ingrédients qu’a Bagdad : ville grouillante d’activités commerciales, des idées qui circulent librement, des groupes de savants protégés par le pouvoir. Scipione del ferro (1465-1526) fournit pour la première fois dans toute l’histoire des maths, la solution positive d’une équation du 3ème degré .Mais hélas il emporte sa méthode avec lui dans sa tombe. Quelques decénies plus tard , un autre algébriste , Nicollo Fontana dit TARTAGLIA ,résout plusieurs équations de ce type .A 13 ans trop pauvre pour aller à l’école , il vole les livres de maths et utilise les pierres tombales comme ardoise .Et il finit par devenir mathématicien professionnel . Un jour on lui donne 30 équations à résoudre. En une nuit il découvre une méthode générale de résolution .Ces résolutions donnent des idées à un autre grand Italien, Rafaele Bombelli (1526-1573) celui ci trouva toutes les solutions aux équations du 3ème degré en introduisant de nouveaux nombres pour rendre possibles certains calculs intermédiaires : les nombres négatifs et les nombres imaginaires. Bombelli continua dans sa lancée et s’attaqua aux équations du 4éme degré qu’il résolu entièrement puis au 5émé degré mais il ne trouva aucune solutions pour celui-ci.

Résolution par Del Ferro de l’équation x³+bx=c (Avec b et c strictement positifs).

L’équation du troisième degré, simplifiée du fait qu’elle n’a pas de terme x², peut être résolue en appliquant la formule : Il suffit de regarder cette formule pour se persuader que son intérêt est surtout théorique, car si vous vouliez l’utiliser…bonjour la fatigue ! Niels Abel ce prodige norvégien réussit à démontrer que cette résolution n’était pas possible en général, il mourut en 1929 à 27 ans. Trois ans plus tard un autre enfant prodige Français Evariste Galois donnera les conditions qui permettent de dire, avant de se lancer dans la résolution d’une équation donnée si elle est ou non résoluble. Il mourut en duel à 20 ans .Après lui les équations algébriques n’eurent plus de secret . Les points de rencontre sont les ports méditerranéens sont les lieux privilégiés d’échanges entre Orient et Occident . c’est à la faveur des activités commerciales de son père , qu’un Léonard de Pise entre en contact avec les mathématiciens arabes ( Venise) .Léonard de Pise ( 1170- 1240) , dit Fibonacci , est à juste titre , présenté comme le plus important mathématicien européen médiéval . Il a lui même décrit les circonstances dans lesquelles les activités commerciales de son père , à travers les grands ports de la Méditerranée, lui ont permis d’entrer en contact avec la science arabe à bougie (Algérie) , en Egypte, en Syrie, en Grèce , en Sicile et en Provence . Sous la cour sicilienne de l’empereur Frédéric II , où Fibonacci rencontra maints savants. Le Liber Abaci , publié une première fois en 1202 , puis révisé en 1228, est une imposante somme en quinze parties . L’auteur y expose d’abord la numération de position avec zéro , dont il souligne les avantages , puis les opérations sur les entiers , les opérations sur les fractions , des problèmes commerciaux , des problèmes de société, des problèmes de change , des problèmes résolus par la méthode de fausse position, simple et double , les règles de calculs radicaux carrés et cubiques . Le quinzième et dernière chapitre traite de trois thèmes : des nombres proportionnels , des problèmes de géométrie pratique , et enfin « de la solution de certains problèmes selon la méthode d’algèbre et muquâbla » . Dans cette section sur l’algèbre , Fibonnacci présente la classification khwarizmienne en six cas des équations algébriques de degré inférieur ou égal à deux . L’exposé est entièrement rhétorique , les exemple numériques et les démonstrations géométriques Une centaine de problèmes sont ensuite proposés et résolus . C’est à ce propos qu’on peut déceler des sources qui ne se réduisent pas à l’ouvrage d’Al-khwârizmî : usage de puissances supérieures à deux . L’algèbre a été exploitée par Fibonacci dans d’autres ouvrages. Dans sa Pratica geometriae ( 1220) , à propos de la mesure des quadrilatères, après avoir présenté les solutions géométrique de problèmes linéaires ou quadratiques , il propose de procéder selon les méthodes de l’algèbre ( per algebram). Dans une Lettre à Maître Théodore , philosophe de l’empereur( Frédéric II ), il ramène la recherche du côté d’un pentagone régulier inscrit dans un triangle isocèle à la solution d’une équation du second degré . Enfin , dans un ouvrage joliment intitulé Fleur ( Flos ) des solutions de certains problèmes relatifs au nombre et à la géométrie , Fionacci relève le défi que lui propose Jean de Palerme , savant arabisant à la cour de Frédéric II : une équation cubique non réductible .Il tente , sans succès , de résoudre l’équation x3 + 2x2 +10= 20( « … trouver un nombre cube qui, réuni avec ses deux carrées et dix racines, fasse vingt «). Loin des structures universitaires, dans lesquelles arithmétique pratique et arithmétique théorique étaient enseignées en latin , des structures plus souples virent le jour pour assurer , en langue vernaculaire , apprentissage et maîtrise de l’arithmétique pratique ou commerciale. Une profession , sans nul doute lucrative , apparaît alors : l’enseignant-formateur , Maître d’algorisme en France ,Rechenmeister en pays allemand , Maestro d’abaco en Italie. Les lieux où de dispense ce type d’enseignement peuvent être la boutique même du marchand :Florence , en 1338, ne compte pas moins de six « écoles « ou « boutique » de ce genre , scuole ou botteghe d’abaco . La plus célèbre d’entre elles, la Bottega d’abaco di Sancta Trinita, est fondée par un mathématicien connu sous le nom de Paolo dell’Abaco . Les ouvrages qui apparaissent sont le support et le relais de l’enseignement ;leur nombre témoigne du développement de cette activité : on recense aujourd’hui plus de trois cents manuscrits , composés entre 1300 et 1600 Qu’est-ce qu’un trattato d’abaco ? Rédigé dans la langue de la région ( principalement toscan ou vénitien ) , s’inspirant plus ou moins du prestigieux modèle du liber abaci d’un niveau parfois modeste , un tel ouvrage se présente avant tout comme un compendium de règles d’arithmétique pratique et commerciale . Il peut inclure des éléments de géométrie pratique et ,parfois, une partie consacrée à l’algèbre. L’histoire médiévale de l’algèbre en Italie s’est longtemps réduite à la comparaison entre le Liber abaci qui l’inaugurait et la Summa de arithmética (1494 ) de Luca Pacioli qui semblait la clore , avant l’apparition , au XVIe siècle, des œuvres de Cardan , Tartaglia ou Bombelli tenue pour emblématiques d’une nouvelle époque , celle de la renaissance. Toute sa vie , Cardan fut un citadin , habitant surtout Milan et Pavie , puis Bologne . Mais sa vie quotidienne , telle qu'il l'a décrit dans son autobiographie , gardait traits de la vie campagnarde : debout dés 7 ou 8 heures, il enseignait le matin , puis il se promenait autour des rempart de la ville . Des traités , Cardan en a publié , dans un grand nombre de disciplines . En outre , il écrivit lui-même des ouvrages qui explicitent le contexte de son travail , en particulier , son autobiographie (Devita propria , rédigé en1557) .Et si , dans ses travaux mathématiques, Cardan s’est limité a l’étude de l’arithmétique , de l’algèbre et de la géométrie , il fut en revanche encyclopédique dans ses intérêts , car il traita de théologie ,de médecine , d’astrologie , d’alchimie , d’histoire , de grammaire et de dialecte . Ses talents de mathématicien lui servirent d’abord pour enseigner dans ce qui, aujourd’hui, serait l’équivalent d’un lycée . Mais il les utilisa ensuite pour acquérir une renommée d’auteur , considérant par ailleurs les mathématiques , dans son œuvre philosophie , comme la base de sa théorie de la démonstration .

3) les équations chez les Arabes

Tout a commencé quand le père de NABU (ENKIL) prés à mourir, articule avec ses dernières forces : «  Je lègue à mon fidèle NABU l’équivalant de la part de l’un de mes mauvais fils. Au brave KURLIL, je donne le tiers de ce qui reste du tiers après la part. » Après avoir dit ces quelques phrases ENKIL mourut. Après cet évènement les mauvais fils fut venir de Babylone un calculateur pour résoudre ce problème. Ce problème fut résolu. C’est ainsi que commença L’ALGEBRE (c’est une branche des mathématiques consacrée initialement à la résolution des équations et, de nos jours, à l’étude des structures. Le mot algèbre vient de l’arabe al-djabr, qui signifie la reconstitution de quelque chose de cassé ou d’incomplet ; c’est le début du titre de l’ouvrage d’Al-Khawarizmi consacré à la résolution des équations du deuxième degré.) L’ALGEBRE apparu, en s’appliquant à des affaires d’héritage. Parallèlement, l’équation du second degré apparu grâce à un petit malin qui imagina une solution purement géométrique suite à un problème : « Trouver un carré qui soit tel que, si on lui ajoute un rectangle de largeur égale au côté du carré et de longueur 10, la surface totale soit égale à 39. » Sans le savoir, il venait de découvrir le premier procédé de résolution de ce qu’on appellera, beaucoup plus tard, une équation du second degré.  Algèbre (14è siècle) vient ainsi de l'arabe al jabr utilisé par Al-Khwarizmi pour signifier la transposition (mot à mot reboutement, soit : remise en place, réparation) d'un terme d'un membre à l'autre d'une équation. Cette transposition se traduit essentiellement par l'ajout d'une même quantité dans les deux membres de l'équation afin d'éliminer les termes apparaissant en soustraction. La mouqabala (mouqabal = opposé, face à face) est l'action consistant à supprimer les termes identiques dans les deux membres et à diviser éventuellement afin d'obtenir soit la solution (1er degré) soit une équation normée (i.e. dont le coefficient en x2 est 1 dans le cas du second degré). Les termes arabes désignant l'équation (muadala), l'inconnue (gezr = racine, ou cheï = chose) et le carré de l'inconnue (mahal) apparaissent. Il fait allusion aux nombres négatifs des mathématiciens Indiens mais ne les accepte pas comme solution de ses équations. Elles ne seront prises en compte en occident qu'après Girard et Descartes. Outre les méthodes géométriques déjà utilisées par Euclide, Al-Khwarizmi énonce des règles algébriques de résolution d'équations du second degré qu'il ramène à la forme : Les mathématiques ont été transformées par l’invention de l’algèbre. Les problèmes pour le partage des terres et d’héritages ont entraînés l’invention des équations. Les équations ont été développées dans les grandes villes où le commerce régnait. Les Grecques et les babyloniens furent les inventeurs des équations. Puis les Arabes ont classifiés les équations du second et troisième degré avec Omar Khayyâm et Al Khawarizmi principalement. Enfin les Italiens avec le troisième et le quatrième degré. Les équations ont permis la perspective notamment dans l’art italien du XIX° siècle, les cartes géographiques, etc. On voit ainsi à quel point les contributions des savants et des mathématiciens ont fait déboucher l’algèbre sur de nouvelles perspectives théoriques.