|
|
Retour à l’accueil |
|
|
Retour aux dossiers techniques |
|
|
|
|
Utilité du nombre d'or
|
|
La règle
mathématique
|
· Une application amusante : La tête de Mickey |
Un outil très
utile
|
· Fabrication d'un compas d'or simple |
Application à la
miniature
|
|
Un piège à éviter
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Utilité du nombre d'or
|
Le nombre d’or est un rapport mathématique de proportion parfait, connu depuis l’antiquité et enseigné dans les écoles des beaux-arts depuis la Renaissance. Elle est également appelée « la divine proportion ». Lorsque l’on veut, par exemple, situer dans un tableau un sujet principal, on utilise ce rapport pour que ce sujet soit mis en valeur, tout en respectant l’harmonie générale du tableau, et ce, sans que ce sujet monopolise tout le tableau par sa présence. On peut l’appliquer dans la miniature de façons très variées. Il est possible d’utiliser le nombre d’or pour calculer et tracer l’aménagement intérieur de la vitrine, et l’emplacement des éléments principaux qui la composent. Il sera ainsi plus facile d’en équilibrer l’ameublement. Par exemple, au lieu d’être trop à droite ou trop à gauche, le sujet principal trouvera parfaitement sa place par rapport à l’ensemble. |
|
|
Quelques
exemples d’application Nous en avons un exemple d’utilisation dans la miniature intitulée « Le coiffeur ». Ici, le nombre d’or détermine l’emplacement du siège. |
|
|
Position des éléments en appliquant le nombre d’or |
|
|
Vous retrouverez une autre application pratique de ce nombre d’or chez la fleuriste. C’est de cette façon que les proportions de la fresque murale ont été calculées, afin de s’harmoniser avec l’ensemble. C’est aussi la ligne d’or inférieure qui détermine la hauteur du soubassement. |
|
|
Application du nombre d’or sur la boutique du fleuriste |
|
|
Cette règle n’est pas indispensable. Un grand nombre de peintres ou de sculpteurs de talent ne l’ont jamais utilisé. Mais elle permet de décider de l'équilibre de l’oeuvre générale en passant par une loi mathématique. Cela rassure souvent les débutants dont l’oeil n’est pas encore rompu à ce genre d’exercice. |
La règle
mathématique du nombre d'or
Les proportions d'or |
Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (A+B) sur la plus grande (A) soit égal à celui de la plus grande (A) sur la plus petite (B) c'est-à-dire lorsque (A+B)/A = A/B. Le nombre d'or est souvent désigné par la lettre φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l’utilisait beaucoup, et en particulier pour concevoir le Parthénon. Le nombre d’or est approximativement 1,618033989…, mais nous arrondirons à 1,618 pour simplifier. Sur le croquis ci-contre : A+B = 1,618 x A |
La
suite de Fibonacci
|
Léonardo Pisano Fibonacci, grand mathématicien du mayen âge, qui, partant de 0 et 1, consiste à ajouter les deux nombres précédents pour déterminer le suivant. Cela nous donne : 0 ; 1 ; 1 (1+0) : 2 (1+1) ; 3 (2+1) ; 5 (3+2) ; 8 (5+3) ; 13 (8+5) ; etc. On obtient donc une suite de nombre à l’infini qui débute comme suit : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; 610 ; 987 ; 1597 ; 2584 ; 4181 ; 6765 pour les vingt premiers rangs Or, la où cette suite devient intéressante, c’est que, à partir du 9e rang (soit 34/21), si l’on divise un nombre par son prédécesseur, on obtient pour résultat approximativement 1,618, soit le nombre d’or. Et plus les nombres sont important, plus la précision est grande. |
Le rectangle d'or
|
À quoi cela va-t-il nous servir ? Ce sont les applications dans le rectangle d’or qui nous serons utiles. Pour tracer un rectangle d’or, nous commencerons par tracer un carré ABCD. Nous prenons le centre (O) de la base CD, et traçons un arc de cercle dont O est le centre et B la pointe du compas. Cet arc de cercle nous donne le point F. CF = 1,618 x CD. L’axe BD se trouve sur le point d’or. Il est intéressant de noter que le rectangle BEFD est aussi un rectangle d’or. L’axe GH qui forme le carré DGHF est un des points d’or, à la fois du rectangle AECF et du rectangle BEFD. Mais le rectangle BEHD est aussi un rectangle d’or qui peut être divisé en d’autres rectangles d’or, et ainsi de suite. Par conséquent, lorsque l’on a un rectangle d’or (AECF), on peut soustraire le carré égal au petit côté (ABCD). On obtient alors un autre rectangle d’or (BEDF) qui peut lui aussi être décomposé en soustrayant un nouveau carré (GHDF), et ainsi de suite avec le rectangle d’or suivant (BEGH). |
Les
lignes d'or
|
Si l’on fait ces tracés aussi bien à droite, à gauche, en haut et en bas, on obtient 4 lignes d’or qui pourront nous servir d’axes de base pour la construction et l'aménagement de la vitrine. En comparant ce croquis avec les deux photos précédentes, vous verrez comment cette règle à servi à déterminer l'emplacement des éléments principaux pour chacune de ces vitrines. Ce préambule un peu compliqué permet de comprendre que le nombre d’or nous donne des proportions équilibrées. Pour localiser un point d’or d’une façon simple, la formule sera la suivante : Largeur ou hauteur de la vitrine divisée par 1,618 = localisation d’un des points d’or. On aura donc, sur la largeur de la vitrine, deux points d’or verticaux en partant de la droite ou de la gauche (DB et D’B’), et sur la hauteur de la vitrine deux points d’or horizontaux (H et H’). Le nombre d’or peut être utilisé de quantité de façons. La décomposition de la boutique en différents rectangles d’or peut servir à fixer les proportions de la façade de la vitrine par rapport à l’ensemble de la boutique. La position des corniches ou des détails d’architecture peuvent s’appuyer sur les tracés des rectangles d’or supérieurs, et la position des soubassements sur les rectangles d’or inférieur. Pour ce qui est de son aménagement intérieur le nombre d’or aide aussi à déterminer l’emplacement d’un élément principal, sans que celui-ci écrase tous les autres éléments qui l’entourent. |
L’angle
d’or
Une application amusante
|
L’angle d’or est un angle basé sur le nombre d’or et sur la suite de Fibonacci. Il est omniprésent dans la nature. Cela va de la disposition des écailles d’une pomme de pin aux graines de tournesol, en passant par la spirale de certaines galaxies. Son calcul est simple. On divise 360° par le nombre d’or au carré soit 137° 30′ 27.9505″ que nous arrondirons à 137° La tête de Mickey Nous pourrions prendre un grand nombre d’application pour illustrer l’utilisation de l’angle d’or. Mais savez-vous que le logo de la tête de Mickey se dessine par se procédé ? Il existe, en réalité, deux sorte de logos représentant la tête de Mickey : l’une où les oreilles sont intégrées à la tête, et l’autre où les oreilles viennent en tangente avec la tête. Tout dépend en fait de l’usage qu’il est fait de ce logo. Mais il est possible de dessiner ces deux logos en utilisant le nombre d’or afin d’avoir des proportions équilibrées entre la tête et les oreilles. Version 1 : les oreilles sont intégrées à la
tête Tracez les axes verticaux et horizontaux. À l’intersection C des deux axes, tracez le cercle marquant la tête. Puis faites partir à droite et à gauche deux axes CA et CB suivant l’angle d’or. Au sommet du cercle, tracez une tangente horizontale. À l’intersection des deux axes et de la tangente (A et B), tracez les deux oreilles. Le rayon des oreilles est égal au rayon de la tête divisé par 1,618 (le nombre d’or). Version 2 : Les oreilles sont tangentes à la
tête Le tracé de base est le même. Tracez les axes verticaux et horizontaux. À l’intersection C des deux axes, tracez le cercle marquant la tête. Puis faites partir à droite et à gauche les deux axes CA et CB suivant l’angle d’or. Veillez à ce que ces axes soient un peu plus longs que dans la première version. Le rayon des oreilles étant égal au rayon de la tête divisé par 1,618 (le nombre d’or), on positionnera le centre des oreilles de telle sorte que le cercle tombera avec la tête sur le point de tangente O. Donc on obtient : CO = 1,618 OB, ou OB = CO divisé par 1,618. Un petit truc ! L’angle complémentaire de l’angle d’or est 43° (180° - 137°). Il est plus facile à tracer avec un rapporteur. |
Un outil très
utile
Le compas d’or
|
Pour utiliser simplement le nombre d’or sans faire de grands calculs ou des tracés compliqués, il est possible de se fabrique un compas d’or. Les constructeurs des cathédrales utilisaient un outil similaire pour déterminer les rapports de proportions (voir http://www.lenombredor.free.fr/cathedrales.htm). Nous allons simplifier cet outil pour qu’il ne nous donne que le rapport d’or. |
Fabrication d'un compas d'or simple
|
Pour se faire, nous avons besoin de deux règles de la même longueur (en bois, plastique ou métal, peu importe). Nous taillerons les extrémités de ces deux règles en pointes, en faisant attention que les deux cottes entre-pointes soient bien identiques. Il suffit ensuite de mesurer la distance entre les pointes et de diviser cette distance par le nombre d’or (1,618), pour avoir le point où les deux règles devront s’articuler. Plus simplement, nous avons de chaque côté de l’articulation une petite et une grande dimension. Il faut que ces deux dimensions correspondent à deux nombres qui se suivent dans la suite de Fibonacci. Par exemple, si la petite dimension fait 21 cm, la grande fera 34 cm. Si la petite est de 34 cm, la grande sera de 55 cm. Cela nous donne l’outil suivant. |
|
Le compas d’or |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cet outil nous renverra le rapport d’or entre les pointes. Ce rapport fonctionne dans les deux sens. En effet, la position du point d’or est égale à la dimension réelle divisée par 1,618. Mais de son côté, la dimension réelle est égale à la position du point d’or multipliée par 1,618. |
|
|
Un autre modèle de compas d’or Voici un autre modèle, plus sophistiqué, mais tout aussi simple à fabriquer. Cette fois il nous faut quatre règles : deux longues, une moyenne et une petite. Toutes les dimensions sont tirées de la suite de Fibrinacci. Par exemple : si les deux grandes (AF et AG) font chacune 34 cm, la moyenne (CE) fera 21 cm, et la petite (BD) fera 13 cm Les axes B et C seront percés à 13 cm de A. De même que le trou D sera à 13 cm de C. Pour un compas plus grand, on gardera le même principe en prenant 3 autres nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, par exemple : 89 cm pour les grandes branches; 55 cm pour la moyenne et 34 cm pour la petite. |
|
|
Traçons maintenant le carré haut du rectangle EBFD (le carré EBIJ). Le rectangle d’or qui apparaît en dessous (IJFD) va nous servir à positionner un certain nombre d’éléments. En traçant le carré IFKL, le côté KL positionne le côté du pilastre 4. En traçant maintenant le carré LDMN, puis le carré KOMP, nous obtenons le rectangle OPJN, dont le petit côté sera la largeur de chaque pilastre. En se servant de la symétrie, nous pouvons positionner les pilastres 1 et 2. Le côté MN nous donne la position du sous-bassement. |
|
|
|
|
|
Revenons à notre
rectangle EBGH. En traçant le carré EQGR, puis le carré RHST, nous
avons le rectangle QBST. Le côté ST nous donne la
position du bas de la corniche. |
|
|
|
|
|
Ne voyez pas dans cela une règle à respecter absolument. Cela montre seulement les nombreuses possibilités qu’offre le rectangle d’or pour équilibrer la conception d’une vitrine ancienne. Comme vous pouvez le constater en regardant les différentes façades des vitrines sur la page d’accueil des vitrines, il y a de nombreuse variétés possibles. |
Un
piège à éviter
|
Lorsque l’on utilise cette loi, il faut toutefois veiller
à ne pas en faire une règle absolue qui occulterait toute expression artistique
ou spontanée. Nous obtiendrions alors une composition froide et
impersonnelle. Pour illustrer ce propos, prenons l’exemple du peintre DAVID.
Celui-ci utilisait en permanence le nombre d’or. De la position d’un bras à
l’angle formé par la lance d’un soldat, il calculait tout à partir de ce
nombre. Le résultat est que ses tableaux, bien que superbe artistiquement,
semblent manquer de naturel. Ils sont ce que l’on appel « académique ». Par contre, l’œuvre de David
intitulé « le sacre de Napoléon » ne donne pas cette impression.
Pourquoi ? Parce que ce tableau est une fresque historique, et qu’en tant que
telle, il l’emporte par la multitude de détails exécutés. Son obsession
principale dans ce tableau fut le réalisme des personnages, qui devaient être
reconnus. Il réalisa ainsi une photographie de l’évènement, en utilisant
cette règle d’or uniquement pour la construction de base. L’oeil de l’observateur se dirige droit sur le sujet
principal : l’empereur, situé sur un des points d’or, l’autre étant utilisé pour
l’impératrice. Puis ensuite, l’oeil va se promener
sur tous les autres personnages connus et inconnus, témoins de l’évènement.
Il utilisa la ligne d’or horizontale basse pour limiter la zone où il plaça
le groupe des spectateurs. En attribuant la plus grande partie haute à
l’architecture de la cathédrale, il intensifie le caractère religieux de
l’événement, sans tomber dans l’ostentation. |
Une leçon à retenir
|
Ce tableau nous enseigne donc deux leçons importantes que nous pourrons tirer pour améliorer le caractère artistique d’une miniature : Tout d’abord, si on décide d’utiliser le nombre d’or, il est important de s’en servir d’une manière équilibrée (construction de base, étude des volumes et des masses, architecture de la bâtisse). Ensuite, Le but principal de la miniature est de réaliser les tous petits détails indispensables pour traiter le thème que nous désirons aborder. Ce sont eux qui donnent la vie à l’oeuvre finie. Ce seront eux les vedettes de la miniature, et non pas sa construction géométrique. Avec le temps, nous ressentons plus rapidement comment la composition s’harmonisera au mieux avec le thème étudié. Avec la pratique, on est alors en mesure, lorsque l’on jette les bases d’un futur projet, de faire directement un croquis représentant les premières idées que l’on ressent, en plaçant les objets directement au bon endroit. Le nombre d’or permet aussi d’éduquer l’oeil de l’artiste débutant, aux proportions parfaites. En l’utilisant dans les premières oeuvres, ne serait-ce que pour vérifier ce que cela donne en réalité, notre oeil va se faire à ces proportions et les adopter. Pour un dossier complet sur l’intervention du nombre d’or dans la géométrie, voir Wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Retour en haut de la page |
Retour à l’accueil |
|
|
|