les propriétés de la spirale d'archimède

Tentative de modélisation par une spirale d'Archimede.


Pour nous permettre de mieux étudier notre toile, nous avons placée celle-ci dans un repère orthonormé.


Ainsi nous avons pu tirer quelques observations:

la spirale part de l'origine du repère

la distance entre chacune des spires semble être équivalente


Or la spirale géométrique qui présente ces caractéristiques est la spirale d'Archimède.

Etude de la spirale d'archimède:


Avant toute démonstration, nous allons présenter la spirale d'Archimède et quelques unes de ses propriétés.


La spirale d'Archimède est la spirale "obtenue par une croissance linéaire du rayon en fonction de l'angle". Malgré son nom, c'est Conon de Samos qui l'a découverte il y'a fort longtemps, vers 280 avant Jesus Christ. Mais Archimède l'a ensuite étudiée, lui donnant ainsi son nom.

Elle se décrit mathématiquement par la formule:

R=a*t+b,avec a constante et t différent de 0.

ou R décrit le rayon OM et t l'angle(Ox,OM) ; a et b sont deux nombres : a est la quantité dont R augmente quand t augmente d'une unité, et b est la valeur du rayon pour t=0.

exemple

R=10*t

Notre spirale part de l'origine du repère, nous nous pencherons donc

sur une spirale d'Archimède dont l'équation en coordonnées polaires est :

R=a*t

spirale d'équation R=t/10

Dans une spirale d'Archimède, la distance des spires par rapport à 0 suit une progression arithmétique et celle entre les spires est constante : en effet, si R=a*t et R'=a*(t+2Pi), alors R-R'=2aPi.

Comment démontrer qu'une courbe est une spirale d'Archimède ?

Propriété : Une courbe est une spirale d'Archimède si et seulement si le quotient de la longueur d'un rayon sur l'angle que fait le rayon avec l'axe des abscisses est une constante.

Démonstration : sens1 :

Soit un point M(R,t) d'une spirale d'Archimède :

on a donc : R=a*t

R/t=a

sens2:

Supposons que tout point M(R,t) d'une courbe vérifie R/t=a, avec a constante.

Ce qui equivaut à : R=a*t.

Cette courbe est donc une spirale d'Archimède.

Nous avons maintenant le moyen de vérifier si une spirale est une spirale d'Archimède.