III- Duplication du cube
Rappel : Le problème de la duplication du cube est de tracer à l'aide de la règle et du compas, le côté d'un cube ayant pour volume le double de celui du cube initial, et cela à partir du côté du cube initial.
a)Le problème préoccupa plusieurs des grands géomètres de l'Antiquité, dont Archimède, Pappus et Nicomède, et donna lieu la découverte de plusieurs courbes supérieures.
b) -Légende: La légende commence à Délos, île des Cyclades, berceau dApollon. Pressé d'enrayer une épidémie de peste, l'oracle du temple d'Apollon exigea la construction à Délos d'un temple faisant le double du précédent.
-On retrouve une autre version dans un poème:
Pour un tombeau royal, tu le prends bien petit;
Il faut doubler le cube et ne point te tromper."
1)Quelques exemples
-Méthode d'approche selon Eratosthène
Eratosthène imagina un procédé mécanique, appelé mésolabe (du grec mesos = moyenne et lambanein = prendre) : découpons trois rectangles identiques posés sur une glissiaire. Traçons les diagonales de ces rectangles comme indiqué ci-dessous :
En faisant glisser le second sur le premier et le troisième sur le second, les diagonales de ces rectangles engendrent les points d'intersection mobiles E et G avec les bords droits des premiers et seconds rectangles (supposés transparents) :
M désignant le milieu du bord droit du troisième rectangle, faisons en sorte, par approximations successives que les points A, E, G et M soient alignés (la figure est réduite afin de de pouvoir visualiser le point O, intersection de [AM) avec la glissiaire) :
Les rectangles étant supposés de longueur (hauteur) 2c, posons x = EE' et y = GG'. Nous avons alors, en vertu du théorème de Thalès utilisé alternativement en faisant intervenir les segments verticaux (en vert) et les segments diagonaux (en rouge) :
OM/OG = OM'/OG' = MM'/GG' = c / y
OM'/OG' = OG/OE = GG'/EE' = y / x
OG/OE = OG'/OE' = OE/OA = OE'/OA' = x / 2c
Ainsi :2c / x = x / y = y / c
C'est dire que : x² = 2cy et y² = cx.
Attention : certains élèves l' auraient écrit, en vous regardant bien dans les yeux et sans sourciller avec le motif "comme c'est parallèle, j'applique Thalès, donc " (chez l'élève , le donc est un argument décisif, une preuve irréfutable, un critère, une manifestation de la vérité) : 2c / x = x / y = y / c. C'est plus court mais très faux...
On déduit de la double égalité ci-dessus : y4 = c2x2 = 2c3y, donc :
y3 = 2c3
La mesure y réalise donc mécaniquement, donc de façon approchée bien sûr, la duplication du cube : elle représente la mesure du côté du cube dont le volume est le double de celui de côté c.
2)Conclusion
Wentzell prouva en 1837 que la construction est impossible avec la règle et le compas, instruments limités à travailler en deux dimensions.