Quelques formules ... 

    Voici les quelques sujets qui sont abordés ici :
                    - la 3^ème loi de Kepler
                    - équivalence masse / énergie d'Einstein
                    - temps et distance de Planck
                    - contraction / dilatation des temps, distances et masses
                    - les trous noirs

• Loi de Kepler :

La troisième loi de Kepler (1618) permet de relier la période de révolution d'une planète à sa distance à l'étoile - plus exactement, au demi grand axe de l'orbite.
Elle s'écrit ainsi

où :

G est la constante de gravitation de Newton qui vaut 6,67.10^-11 m³.kg^-1.s^-2
p vaut approximativement 3,14159
M est la masse du corps attracteur    (étoile dans le cas d'une planète, planète pour un satellite)
a est le demi grand axe de l'orbite
T est la période de révolution de l'astre

Par exemple pour le système solaire :

Par exemple, pour la Terre, connaissant T et a on peut déduire la masse solaire :

T vaut 365,25 jours en moyenne, soit 31 557 600 secondes
a vaut en moyenne 149.10⁹ m
M, la masse du Soleil dans ce cas, vaut donc 1,966.10³⁰ kg

Connaissant la masse du Soleil et la période de révolution des planètes on peut en déduire leur distance au Soleil, et inversement.
Ceci fonctionne pour tout système où un corps fait orbiter d'autres astres autour de lui.

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• Equivalence masse / énergie d'Einstein :

Einstein a formulé au début du siècle dernier une célèbre loi qui permet d'estimer l'énergie que "contient" une masse donnée de matière, avec

où :

c est la célérité de la lumière valant environ 3.10⁸ m.s^-1 
m la masse de matière (en kg) qui contient une quantité d'énergie E (en J)

Ainsi un kg de matière contient 9.10¹⁶ J d'énergie, au sens où si cette matière venait à être transformée en énergie pure, elle libèrerait cette quantité d'énergie. Il est important de remarquer que les bombes H classiques ont une puissance de l'ordre de 10¹⁷ J ...

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• Temps et distance de Planck :

On doit a Planck deux formules : celle du plus petit temps significatif dans notre univers, ainsi que celle de la plus petite distance. Le temps et la distance de Planck valent :

où h est la constante de Planck valant environ 6,63.10^-34 J.s

Ainsi le temps de Planck vaut environ 10^-43 s et la distance de Planck 10^-35 m.

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• Contraction / Dilatation des temps, distances et masses :

Lorsqu'un objet se déplace à une vitesse proche de la lumière, il devient relativiste et l'espace-temps pour cet objet devient différent. Cela dans le sens où la vitesse va changer les valeurs même des distances, vitesses et masses.
Ainsi un corps de taille initiale l₀, de masse initiale m₀ se mouvant à une vitesse v (forcément inférieure à c), possède une masse m et une taille l pour un observateur extérieur au repos donné par :

De même, si t₀ est le temps qui s'écoule pour l'observateur extérieur fixe, le temps t réellement vécu par le corps en mouvement est :

Prenons un vaisseau d'une masse au repos de 1000 tonnes et d'une longueur au repos de 100 mètres, voici comment apparaît le vaisseau, ainsi que la valeur d'une seconde écoulée à bord quand une seconde s'écoule en dehors, pour un observateur extérieur :

Par exemple, pour un vaisseau spatial d'une masse au repos de 1000 tonnes, d'une longueur au repos de 100 mètres, qui se déplacerait à une vitesse de 1/2 de la vitesse de la lumière, l'observateur extérieur verrait un vaisseau long de 86,6 mètres, alors que le vaisseau verrait sa masse augmenter à 1154 tonnes et que pour 1 seconde que vivrait l'observateur extérieur fixe, les horloges embarquées à bord du vaisseau ne compteraient que 0,86 secondes.
De plus, un observateur embarqué pourrait vérifier via ses instrument à bord que son vaisseau fait toujours 100 mètres de long pour lui !! Et pourtant les deux personnes auraient raison ! C'est une question de relativité.
Et si le vaisseau accélère c'est encore plus impressionnant !

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• Trous noirs :

Voici quelques données impressionnantes sur les trous noirs, ces astres très denses qui capturent tous ce qui passe à leur portée (voir la page sur Les étoiles). Les données suivantes sont tirées du livre de Kip Thorne : Trous noirs et distorsions du temps.
Ainsi :

• Pour une étoile de quelques masses solaires environ, il a été calculé que lors de l'effondrement de l'étoile qui aboutit à la formation d'un trou noir, la surface stellaire s'effondre à plusieurs centaines de kilomètres par secondes.
  

• Le rayon de l'horizon d'un trou noir est la distance par rapport au centre du trou noir (qui est celui de l'ancienne étoile) en deçà de laquelle rien ne peut ressortir : ni chien, ni humain, ni montagne, ni planète, ni lumière ou quoi que ce soit ne peut revenir du trou noir une fois que ce cap est franchi.
  On le calcule de la manière suivante :

où :

M la masse du trou noir, i-e de l'étoile qui s'est effondrée
R_h est l'horizon de ce trou noir

Par exemple pour un trou noir de 5 masses solaires :

M vaut  9,83.10³⁰ kg
Rh vaut donc 14,57 km

• Du fait de l'importante force de gravitation régnant autour du trou noir, il existe des contraintes importantes pour des corps en orbite autour de celui-ci. Ainsi par exemple le champ de gravitation est tel que son intensité varie rapidement avec la distance au trou noir. Par conséquent, un objet long dans le sens radial du trou noir aura son point le plus éloigné moins attiré que son point le plus proche du trou noir : il existe ainsi des forces de marées internes à tout matériau dans le champ de gravitation du trou noir.
  Celle-ci sont calculables. Ainsi avec :

L la longueur du corps dans le sens radial du trou noir
R la distance du corps par rapport au centre du trou noir

On a :

Ceci représente la différence d'accélération entre les deux extrémités du corps dans le sens radial du trou noir.

Par exemple, pour un homme de 1,80 mètres qui se trouverait à 10³ kilomètres d'un trou noir de 5 masses solaires, la différence d'accélération entre le sommet du crâne et la plante des pieds de cet individu serait de l'ordre d'environ 2360 m.s^-2, soit 241 fois l'accélération terrestre - impossible d'y survivre. Mais à une distance de 10⁵ kilomètres, la différence d'accélération est seulement de 2,36.10^-3 m.s^-2, soit 1/4000 de la gravitation terrestre, ce qui semble supportable.

L'accélération même peut être également calculée à une distance donnée du trou noir. On la calcule, pour R>R_h, avec :

Les paramètres sont les mêmes qu'au dessus avec en plus l'intervention de l'horizon du trou noir R_h.

Ainsi à 10³ kilomètres du trou noir, l'accélération vaut 6,60.10⁸ m.s^-2 et à 10⁵ kilomètres elle vaut toujours 6,56.10⁴ m.s^-2. Ainsi bien que le gradient de la gravitation soit supportable, la gravitation elle-même n'est pas encaissable pour un humain à cette distance. Il faut aller loin : par exemple, avec le trou noir de l'exemple toujours, il faut être positionné à 10⁷ kilomètres pour ne ressentir qu'une accélération de 6.6 m.s^-2 soit 2/3 de la gravitation terrestre. Si un jour un homme peut approcher un trou noir il ne le fera pas de beaucoup plus près donc.

Ainsi pour un homme de 1,80 mètres au-dessus de notre trou noir pris en exemple au-dessus on obtient :

• Un autre aspect intéressant est l'allure que prendrai le ciel vu dans l'environnement proche d'un trou noir. En effet, plus on s'approche du trou noir plus la lumière tombe "rapidement" dans celui-ci. Ceci aurait pour conséquence qu'un observateur proche du trou noir ne verrait plus un ciel empli d'étoiles, mais toutes les étoiles se verraient être concentrées dans un disque d'un certain diamètre pour l'observateur - comme une espèce d'effet entonnoir. Le rayon angulaire de ce disque, en radians, est donné, pour R>R_h via :

Ainsi, à 10³ kilomètres de notre trou noir exemple, les étoiles sont concentrée dans un disque de rayon angulaire valant 5,16 rad soit la quasi totalité du ciel (la valeur maximale du rayon est d'environ 5,19 rad), alors qu'à 20 kilomètres de la surface le disque n'offre qu'un rayon angulaire de 2,71 rad.

• Enfin, il arrive que deux trous noirs s'approchent assez pour orbiter ensemble. Ils finissent par entrer en collision (ils perdent de l'énergie car ils émettent des ondes gravitationnelles lors de leur révolution l'un autour de l'autre) et fusionner en un seul trou noir plus massif. Ainsi, pour deux trous noir orbitant l'un autour de l'autre avec :

D la distance entre les deux trous noirs
M la masse des deux trous noirs (supposées la même)

on déduit la période de révolution du système autour du centre de gravité des trous noirs ainsi que le temps avant la fusion des deux trous noirs :

Par exemple, avec deux trous noirs identique à celui utilisé au-dessus :

Ainsi par exemple, avec deux trous noirs de 5 fois la masse solaire, orbitant à 10⁴ kilomètres l'un de l'autre, la période de révolution des trous noir vaut 5,5 secondes seulement !! C'est-à-dire que la vitesse orbitale vaut 2862 km.s^-1, ce qui est très rapide pour une vitesse de révolution (par comparaison la vitesse orbitale de la Terre est d'environ 30 km.s^-1). A ce même moment, les trous noirs sont à environ 841 910 secondes, soit moins de 10 jours, de leur fusion.
Remarque : on note que le rapport D/t_fusion est plus grand que c, la célérité de la lumière. En fait il faut voir D comme la distance entre les centres des trous noirs, et t_fusion comme le temps restant avant le contact entre leurs horizons respectifs. Ainsi la physique est respectée au sens où les vitesses restent inférieures à celle de la lumière.

• Pour finir, il est intéressant de constater qu'un signal lumineux émis près du trou noir va avoir sa fréquence décalée à cause de l'intense champ de gravitation qui règne aux abords du trou noir. Ainsi, pour R>R_h on obtient :

avec l_émis la longueur d'onde du signal émis, et l_reçu celle du signal reçu.

Supposons qu'on émette un signal bleu à une distance R du centre du trou noir, d'une longueur d'onde de 400nm. Alors :

Ainsi, avec notre trou noir exemple, si un signal à 400 nm de longueur d'onde est émis à une distance de 2 R_h, le signal reçu aura une longueur d'onde de 566 nm. Autrement dit, un signal bleu sera devenu un signal vert : c'est le décalage vers le rouge qu'on observe soit dans le cas d'un intense champ de gravitation, soit dans le cas de corps s'éloignant d'un observateur (galaxies, étoiles ...) - c'est l'effet Doppler.

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