photo de notre toile

Nous allons maintenant tenter de rechercher comment nous pourrions modéliser mathématiquement une toile d’araignée.
Nous baserons notre étude sur un exemple de toile (le temps ne nous permettant malheureusement pas d’étudier plusieurs cas).Nous étudierons une photo de toile extraite du magazine Science et Avenir de mai 2001 à défaut d’avoir pu prendre des photos nous même (qui étaient inutilisables dans le cadre d’une telle étude)
A partir de la photo, nous avons décalqué les 3 éléments principaux contenus dans la toile :le cadre,les rayons et la spirale(qui constituera le centre de notre étude)

Les rayons sont aux nombres de 42, on considèrera cependant qu’ils sont aux nombres de 45 pour simplifier l’étude(le décalcage serait dans le cas contraire beaucoup plus délicat): 3 segments ne sont en effet pas issus du centre sur la toile mais d’un point situé sur un rayon.
L’angle moyen séparant 2 rayons consécutifs est donc 2pi/45 (après simplification de l'architecture).
C’est d’ailleurs grâce au nombre de rayons que nous avons pu déterminer l’espèce à laquelle appartenait l’araignée qui a construit cette toile.On peut en effet déduire du nombre de rayons l’espèce de l’araignée qui en est à l’origine.Chez les épeires ,on compte
-21 rayons pour l'épeire angulaire,
-32 rayons pour l'épeire fasciée,
-42 rayons pour l'épeire soyeuse.
C’est donc une épeire soyeuse qui est à l’origine de cette toile.

Rayons de la toile

La structure du cadre constitue l’armature de la toile, elle est essentielle à sa réalisation.On peut la modéliser par un ensemble de triangles, dont 2 de leur côtés sont confondus avec les côtés des 2 triangles qui l’entourent successivement.Tout ces triangles possèdent un sommet commun qui correspond au centre de la toile…Leur taille, leur nombre, leur forme dépend de l’endroit dans lequel la toile est construite.Ces paramètre dépendent du milieu sur lequel la toile doit se fixer.

On remarque que dans le cas de notre toile,que les bords du cadre qui correspondent aux cotés de triangles de type B(n)B(n+1) ou B(n-1)B(n) ne sont pas droits.Nous ne pourrons donc ici le modéliser qu’arbitrairement.De plus,la photo ne nous permet pas de visualiser entièrement le cadre.

Nous allons ici nous intéresser plus particulièrement à la spirale que contient la toile.Nous tenterons d’expliquer la régularité géométrique qu'elle contient en tentant de trouver un support de modélisation cohérent parmi différentes spirales mathématiques.

spirale entière contenue dans la toile

partie de la spirale étudiée