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RAPPEL : une version de l'ensemble du développement, revue et améliorée dans le détail, est disponible en format pdf à l'adresse : Dimensions des nombres  

 
 
 
 
 
 
 
 

Dimensions en chaîne
 
Quand une courbe se dessine au cours du temps, ses points passent d'une position à l'autre de cette courbe. Avec un attracteur étrange, on ne voit plus des points parcourir une courbe, mais sauter d'un endroit à l'autre d'une surface ?
Eh bien, il faut se rendre à l'évidence : un attracteur étrange ne représente pas l'évolution d'une courbe, mais celle d'une surface.
 
Nous allons faire l'hypothèse que cette mutation de la figure par augmentation du nombre de ses dimensions (surface 2D remplaçant une courbe 1D) aurait à voir avec la mutation de la dimension fractale représentée : une courbe représenterait une dimension fractale "1" et une surface représenterait une dimension fractale "2".
Mais on ne peut comprendre la signification de cette mutation si l'on ne considère que le fonctionnement d'un attracteur étrange, aussi nous devons maintenant proposer une hypothèse générale sur l'enchaînement de tous les types de dimensions. Pour présenter notre hypothèse, nous la résumons dans un tableau.
 
 

 
 
 
Chaque ligne horizontale correspond à une dimension fractale, comptée de 0 à 3.

     - dans la 1ère ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 0, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des contrastes [revoir E cela].
Les 2 premières cases de cette ligne montrent un fonctionnement analogue à celui que l'on a décrit pour le mode de génération des nombres entiers : instabilité du 0 dont la vibration dévide d'un coup tous les nombres jusqu'à l'infini  [revoir E le chapitre "Reprenons à partir de zéro"].
Nous dirons donc que cette dimension fractale 0 est celle des nombres entiers.
 
     - dans la 2ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 1, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des trajets [revoir E cela].
Cette dimension fonctionne par la mesure simultanée de deux grandeurs, comme cette caractéristique est aussi celle des nombres complexes, nous dirons donc que cette dimension fractale 1 est celle des nombres complexes.
 
les nombres complexes peuvent s'écrire  
a + ib (ou i est la racine carrée de -1) 
ou être représentées par un couple de nombre (a,b)
 
     - dans la 3ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 2, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer la déformation interne des corps [revoir E cela].
Dans le chapitre "Reprenons à partir de zéro" [revoir E ce chapitre], nous avons expliqué pourquoi les nombres décimaux réclament une dimension 2 pour être produits et conservés, nous dirons donc que cette dimension fractale 2 est celle des nombres décimaux.
 
     - dans la 4ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 3. Jusqu'ici nous n'avons pas encore proposé de signification à ce type de dimension.
Nous suggérons maintenant que cette dimension soit celle de l'espace-temps et des repères d'espace-temps tels qu'on les considère habituellement.
La dimension 3 étant spécialisée dans l'interférence des dimensions qui la précédent, nous proposons de considérer cette dimension comme étant celle qui permet de combiner la dimension des nombres entiers, celle des nombres complexes et celle des nombres décimaux.
Comme c'est l'introduction des nombres de base 10 qui permet de calculer de façon commode les nombres dans tous les cas de figure, nous dirons donc que la dimension 3 est la dimension des nombres de base 10.
 
 
 
 
  
La 1ère ligne correspond donc aux dimensions fractales qui ont 0 pour partie entière. Comme nous l'avons déjà suggéré, ces dimensions servent à calculer les contrastes. 
 
     - dans la 1ère colonne, nous trouvons la figure mathématique qui permet de réaliser la mesure [la légende décrivant la fonction de chaque colonne est en bas du tableau]. Comme un contraste peut se mesurer par un rapport entre deux grandeurs, le résultat de ce rapport est simplement un nombre, et un nombre peut toujours être représenté à l'aide d'un point sur un axe. La 1ère case est donc ici illustrée par un point, mais comme ce point n'est pas fixe et qu'il est au contraire susceptible de se déplacer sans cesse sur une courbe, on dira qu'il s'agit d'un point "non stabilisé". C'est le déséquilibre perpétuel d'un tel point sous l'effet de sa contradiction interne, qui provoquerait son déplacement incessant.
     - dans la 2ème colonne, on trouve la dynamique avec laquelle fonctionne l'instrument de mesure décrit en 1ère case. Comme on vient de le dire, la dynamique d'un point instable, c'est une courbe. On peut dire aussi un trajet.
     - la 3ème colonne correspond à la façon dont s'opère la mesure de la dimension. Ce que l'on mesure en fait, c'est l'effet provoqué par la déformation sur le milieu où elle s'exerce. La nature de la mesure dépend de la nature de cette réaction du milieu. Ici, la déformation consiste à provoquer un contraste, c'est donc sous la forme d'une mesure de proportion que se fait sa mesure.
     - dans la 4ème colonne, nous trouvons la façon dont s'organise la déformation mesurée, c'est-à-dire finalement la façon dont le phénomène nous apparaît dans la réalité. Ici, nous avons donné l'exemple du "fromage" de Cantor qui se construit comme une poussière de Cantor [revoir E une poussière de Cantor] à partir d'une proportion que l'on retrouve identique à toutes les échelles de lecture.

 
 
 
 
  
La 2ème ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 1 pour partie entière, et qui sont spécialement adaptées à calculer les trajets. 
 
     - dans sa 1ère case, nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : ce sont des courbes hyperboliques. La caractéristique d'une hyperbole est que pour tous ses points le produit de l'abscisse par l'ordonnée a une valeur constante. Gauss, qui a donné aux nombres complexes la présentation que les mathématiciens utilisent toujours, a aussi montré que les nombres complexes avaient à voir avec la courbure hyperbolique d'un espace. Ces travaux ont trouvé leur plein accomplissement dans la notion de courbure de l'espace par les masses qu'a proposée Einstein, ce calcul faisant appel précisément aux nombres complexes. Nous rappelons que selon la lecture diagonale et selon la lecture par lignes de notre tableau, nous sommes avec cette case dans la dimension des nombres complexes.
     - la dynamique que l'on trouve en 2ème case a son origine dans ce que l'on vient de dire sur la particularité d'une courbe hyperbolique : ce qui a ici valeur de constante, ce n'est pas une seule valeur isolée mais le produit de deux grandeurs, l'une qui sert d'abscisse et l'autre qui sert d'ordonnée. La dynamique de cette dimension est donc celle de la coordination continue de deux dimensions de type "0". Selon l'importance respective de ces 2 dimensions variera la valeur décimale de la dimension.
     - en 3ème case, on trouve la façon dont s'organise sa synchronisation à toutes les échelles (lecture diagonale) et la manière dont la dimension s'exerce (lecture par colonnes). Elle s'exerce par une impulsion de déplacement dans toutes les directions, que l'on a représentée comme nous l'avons suggéré en début de ce chapitre par une infinité de vecteurs pointant dans toutes les directions possibles [revoir E cette représentation]. La forme spécifique de chaque "bouquet de vecteurs" est donnée par la valeur décimale de la case précédente. La dimension autosimilaire à toutes les échelles est donnée par la forme identique à toutes les échelles de ce "bouquet".
     - en 4ème case, on trouve la façon dont la dimension nous apparaît sous l'effet de  l'interférence de ses 3 premiers aspects : elle nous apparaît comme un trajet. Dans l'espace, un trajet correspond à une dimension entière "1". Selon la lecture diagonale du tableau, puisque l'on trouve la valeur 0 en coin de case, celle-ci doit indiquer la valeur de la partie entière de la dimension. Comme il s'agit de la ligne de la dimension fractale 1 et que l'on y trouve un trajet dont on a dit, au chapitre 9, qu'il correspondait à une dimension fractale qui a 1 pour partie entière, tout cela est cohérent.
Puisqu'il est question, ici, de trajet fractal, celui qui illustre cette case est similaire à lui-même sur toutes ses échelles : une hélice en hélice d'hélice.

 
 
 
 
  
La 3ème ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 2 pour partie entière, et qui sont spécialement adaptées à mesurer des déformations internes. 
 
     - dans sa 1ère case, nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : ce sont des surfaces ainsi que nous l'avons vu dans notre analyse des attracteurs étranges [revoir E cela]. Selon la lecture diagonale, cette case doit servir à porter la valeur décimale de la dimension : c'est la courbure de cette surface qui correspond à cette valeur. Pour la dimension fractale "0", cette valeur décimale était donc seulement unidimensionnelle, pour la dimension fractale "1", la valeur décimale était le résultat de la combinaison de 2 dimensions, et pour la dimension fractale "2", cette valeur décimale est donc la combinaison de 3 dimensions : les 2 dimensions qu'il faut pour faire une surface, plus la valeur de la déformation de cette surface.      - dans la 2ème case de cette dimension, on trouve la dynamique d'évolution de cette surface. On a vu qu'il s'agit d'un "attracteur étrange" autosimilaire à lui-même à toutes les échelles [revoir E cela]. La position de cette case dans la lecture diagonale du tableau correspond à la synchronisation entre toutes les échelles, ce qui est bien cohérent avec la dynamique d'un attracteur étrange.
     - en 3ème case, nous trouvons que cette dimension se manifeste par des valeurs statistiques et non des valeurs continues. Chaque point obtenu est l'un des croisements des "0" et "1" qui s'exercent en même temps pour faire la surface décrite dans la 1ère case. Ces croisements ne peuvent pas être reliés en continus l'un l'autre, car cela voudrait dire que ces 2 dimensions 0 et 1 de nature différente ont trouvé une dimension de coordination commune, ce qui est impossible ou nous ramènerait à la dimension fractale de la ligne précédente. Cette case doit porter la valeur du nombre entier de la dimension fractale : que chaque point soit le croisement de 2 courbes séparées correspond bien à la valeur "2" de cette dimension.
On a dit que cette dimension sert à mesurer les phénomènes liés à la force nucléaire de cohérence de la matière, parce que les particules de matière sont fondamentalement des corps qui se déforment sur eux-mêmes [
revoirE cela] 
     - dans la 4ème case, nous avons la façon dont nous apparaît la dimension. Ce qui nous apparaît est donc un corps qui se déforme sur lui-même par l'échange de position coordonnée de tous ses points. Dans la lecture diagonale du tableau, cette case est celle de la dimension complexe. Nous ne connaissons pas assez la mathématique des nombres complexes pour interpréter cette case.
 
 
 
 
  
La 4ème et dernière ligne correspond aux dimensions fractales qui ont 3 pour partie entière, et qui sont donc les dimensions usuelles de l'espace-temps. 
 
     - dans sa 1ère case, nous avons mis l'état "de ce qui sert à la mesurer" : c'est un volume d'espace. Comme il intègre les 3 dimensions des lignes précédentes, il doit être muni de 3 courbes pour correspondre au croisement de 3 dimensions de natures différentes et  impossibles à combiner entre elles. Cette case étant celle de la dimension d'autosimilarité d'échelle, aussi bien dans le sens diagonal que dans le sens vertical de lecture du tableau, ses courbes doivent être autosimilaires. Elles doivent donc être droites, avoir même origine et même unité de mesure.
     - dans la 2ème case, nous avons la dynamique de ce repère 3 D. Cette dynamique consiste à repositionner en permanence tous les points à la même place par rapport au point qui sert d'origine. L'absence de mouvement qui en résulte n'est pas due à l'absence réelle de mouvement, mais à la combinaison complexe du mouvement dans les 3 directions de l'espace, de telle sorte qu'en permanence ces mouvements se neutralisent exactement. La fixité qui en résulte est donc due à une coordination dans 3 dimensions distinctes, c'est pourquoi "3" est la valeur entière de la dimension fractale qui exprime cette case.
     - dans la 3ème case, nous avons la dimension complexe sous laquelle doit se faire la mesure. L'essence de cette mesure est qu'elle se fait "d'un point à un autre", c'est-à-dire que l'on mesure la position de chaque point par rapport à l'origine.     - dans la 4ème case, nous retrouvons l'espace-temps traditionnel.
Nous n'avons pas besoin d'innover, nous l'illustrons comme la tradition : un point qui se déplace forme une droite qui  se déplace pour former un plan qui se déplace pour former un volume. Dans le sens diagonal, cette case correspond à la valeur décimale de cette dimension. Cette valeur décimale dépend de la vitesse relative avec laquelle ces 3 déplacements s'effectuent.
On remarque que l'espace-temps obtenu par construction d'une droite puis d'une surface puis d'un volume, ne changera pas si l'on se sert d'un autre des 3 axes pour servir de 1ère droite par laquelle débute la construction : l'ordre des 3 déplacements qui génèrent le volume est permutable. Les 3 dimensions sont donc devenues similaires entre elles, et cela à toutes les échelles. Dans sa signification de "dimension selon l'univers" [voir E plus haut à quoi cela correspond], la dimension 3 correspond aussi à l'interférence autosimilaire des 3 premières.
Nous trouvons donc dans la signification de la dimension fractale 3, la réconciliation enfin obtenue des 3 premières dimensions fractales : elles trouvent enfin le moyen de se combiner de telle façon qu'on ne peut plus différencier les 3 axes de l'espace, attribuer l'un ou l'autre spécialement à la dimension 0 ou à la dimension 1 ou à la dimension 2.
 


 
 
À l'issue de toutes ces réflexions, la conception traditionnelle de mesure de l'espace par 3 axes orthogonaux gradués nous apparaît donc comme une méthode parmi quatre méthodes radicalement différentes l'une de l'autre pour mesurer les phénomènes, quatre méthodes complémentaires l'une de l'autre, et toutes contenues les unes dans les autres.
Finalement ce que l'on a découvert, c'est qu'une dimension n'est rien d'autre au fond que l'une des 4 façons possibles de combiner entre elles 4 dimensions, l'une des 4 façons possibles de faire permuter leurs rôles complémentaires.
 
 
L'intérêt que peut présenter ce tableau serait d'aider à comprendre comment mesurer de façon "non probabiliste" les dimensions fractales 2.

De façon générale, l'idée serait de penser comment chaque dimension est la "dérivée" de la dimension juste au dessus, et sert de "primitive" à la dimension juste en dessous.
L'introduction des dérivées par Newton et Leibniz a été en effet l'instrument mathématique qui a permis tous les développements du calcul scientifique depuis le XVIIème siècle.
Aujourd'hui, on considère toujours qu'une dérivée est le changement instantané que subit la direction d'une courbe : elle serait la limite de ce changement quand la durée de temps tend vers 0. Malgré l'efficacité de cette conception, il était malcommode de penser qu'un changement pouvait être véritablement réalisé en un temps nul : dans un temps nul, un changement ne peut qu'être nul.
Notre hypothèse qui propose que les dimensions soient fondamentalement des déformations, ne rencontre pas cette anomalie. Comme nous considérons qu'un trajet est fondamentalement la coordination de 2 déformations, nous pouvons très bien arrêter l'une des déformations en la rendant nulle, afin de mesurer l'autre déformation qui n'a pas alors de raison spéciale d'être nulle. Dans notre hypothèse, c'est cette valeur que prend l'une des déformations d'un trajet lorsque sa déformation associée s'annule, que nous appelons "dérivée".

La dynamique des dimensions 2 présente un caractère "volumique" qui provoque son caractère statistique, car on ne peut pas calculer les côtés d'un parallélépipède si on n'en connaît que le volume. Peut-être l'analyse de ce tableau permettra-t-elle à quelqu'un de trouver comment trouver l'évolution de la surface d'une des faces de ce parallélépipède, et de connaître ainsi de façon absolue la longueur des arêtes  ?
 



ÉPILOGUE

 
D'abord dans l'essai « l'adieu au big-bang », puis dans l'essai « en attendant le Boson de Higgs », est longuement décrite l'hypothèse d'une évolution des ondes d'espace au fil du temps.
Le dernier tableau de ce présent texte sur les dimensions des nombres se boucle sur la notion d'espace-temps.
Peut-on maintenant proposer une façon de penser le temps par rapport à l'espace, afin de ramener la naissance du temps à la synchronisation des ondes d'espace qui marqua, comme on l'a supposé, le début de notre univers ? Certainement.
Selon notre hypothèse, le temps apparaît en effet clairement comme la dimension même d'autosimilarité que se sont trouvées les trois dimensions de l'espace, c'est-à-dire comme la 4ème dimension qui naît toujours pour correspondre à l'interférence de 3 premières dimensions lorsqu'elles ont réussi à se coordonner à toutes les échelles de l'espace à la fois.
 
Toujours, on l'a donc proposé dans les essais cités plus haut, les ondes d'espace complexifieraient leurs déformations de façon irréversible.
À la conception habituelle qui veut que tout ce qui se passe dans l'espace soit réversible et que le temps, lui, file irrésistiblement, nous opposons donc une hypothèse où l'espace se transforme irrésistiblement et où l'on nomme temps ce changement continuel et toujours similaire à lui-même.
 
L'espace nous file entre les doigts.
Le temps est la mesure cette glissade.
 
Texte rédigé en 1993
Mise à jour de détail : 21 février 2010

 
 
 Il est rappelé qu'une version continue de cette série de textes sur les dimensions des nombres est disponible en version pdf à l'adresse : dimensions-des-nombres.pdf
 


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