Vers
820-830, il est membre de la communauté scientifique qui est réuni
autour du calife Al-Mamoun.Dans son traité d'algèbre, il décrit
des transformations algébriques permettant de résoudre les équations
du 2° degré.II) Les Arabes
1)Al-khwârizmi
Vers
820-830, il est membre de la communauté scientifique qui est réuni
autour du calife Al-Mamoun.Dans son traité d'algèbre, il décrit
des transformations algébriques permettant de résoudre les équations
du 2° degré.
Il est né à Bagdad, la capitale de l'empire musulman en 780.
Le livre d'algébre d'Al-Khwârizmi marque officiellement le début de l'algébre en tant que discipline (avec un nom, des objets, des preuves...) La publication du petit traité qu'il dédie au calife Al-Mamoun correspond a 813-833.
Cet ouvrage est composé de deux grandes parties, précédées par une introduction.Il y décrit le but de son livre.
La première partie du livre se subdivise elle-même en plusieurs chapitres.Dans le premier chapitre, l'auteur rappelle la définition du système décimal hérité de l'Inde : les nombres (entiers et rationnels positifs), la racine et le bien qui est son carré.Il donne ensuite les six équations canoniques :
1)ax = bvx
2)ax = c
3)bvx = c
4)ax + bvx = c
5)ax + c = bvx
6)bvx + c = ax
avec x désignant le bien et a, b, c les nombres positifs (entiers et rationnels positifs, parfois racine carré d'entiers).
Dans le second chapitre, Al-Khwârizmî fournit l'inconnue.
Le troisième chapitre porte sur la manière de mathématiser un problème afin de le ramener à l'une des six équations précédentes.
2)Omar Khayyâm
En
1074, l'astronome et mathématicien mais aussi poète Omar Khayyâm
étudie les équations du troisième degré à
coefficient strictement positifs dans son traité.
Il est né à Nishapour (située aujourd'hui en Iran) en 1048.Il aurait passé toute son enfance et son adolescence à Balkh, une ville voisine.
Là, il aurait acquis une formation solide en science et en philosophie.
Lorsqu'Al-Khayyâm entame ses recherches algébriques, de nombreuses équations ont déjà livré leurs solutions.
-Al-Mahânî (IX siècle) : x³ + c = ax²
-Al-Kouhî (X siècle) : x + y =10 x² + y² + x/y = 72 x³ + (13/12)x + 5 = 10x²
-Anonyme (X siècle) : (x²)² + 200x = 20x³ + 1900
-Abou I-Joud (X siècle) : x³ + 1 = 3x
-Ibn Al-Haytham (XI siècle) : x + y = 10 x = y³ x³ + 301x = 1000 + 30x²
-Al-Bîrûnî (XI siècle) : x³ = 3x + 1
3) A l'époque, il existait pour les mathématiciens arabes 25 équations différentesde degré inférieur ou égal à 3.Ils ne travaillent en effet qu'avec des équations dont les coefficients étaient positifs, et avec des seconds membres toujours différents de zéro. Parmi ces 25 équations, 6 (de degré inférieur ou égal à 2) avaient déjà été étudiées par Al-Khwârizmî dans son fameux livre d'algèbre.
Dans son traité, Al-Khayyâm est allé au- delà du calcul approché de la racine d'un entier et il a recherché un calcul approché des solutions positives des équations du troisième degré.
Pour résoudre une équation de la forme « x³ + c + bx », Al-Khayyâm utilise des courbes.La première est une parabole (en bleu), d'équation x² = yvb, la deuxième, une hyperbole (en rouge), décrite par l'équation y² = x(x-c/b).
Il montre alors que l'intersection de ces deux courbes, le point E de coordonnées (x , y ), est bien une des solutions qu'il recherche.En effet , comme E appartient à la parabole, ses coordonnées vérifient la relation : x /y = vb/x .
D'autre part, E appartient également à l'hyperbole, donc x /y = y /(x -c/b).
De ces deux relations, on déduit : (vb/x )² = b/x ² = x /(x -c/b) d'où x ³ = bx -c, c'est-à-dire x ³ + c =bx qui est bien la relation cherchée.