Dérivée d'une fonction

Rappel de première :

En première vous avez découvert le nombre dérivé. C'est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point de cette courbe :
En Terminale on utilise la fonction dérivée

Exemple d'un nombre dérivé

La courbe en bleu est représentative d'une fonction f. Elle admet une tangente en rouge au point M(1 ; 2)
Cette tangente passe par le point P(2 ; 6). On peut donc facilement calculer son coefficient directeur a :

L'abscisse de M vaut 1. Donc on appelle nombre dérivé en x = 1, le coefficient directeur de la tangente au point M et cela s'écrit :
f '(x_M) = a
Donc dans l'exemple :
f '(1) = 4

4 est le nombre dérivé de f en x = 1 Mais 4 est aussi le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1

Jusque là, pas trop de problème, quoique l'arrivée de la notation f ' commence à embrouiller la tête d'un grand nombre d'entre vous qui se demandent où veut en venir leur professeur. Et pourtant vous allez bientôt voir la notion de nombre dérivé est fondamentale dans l'étude de fonctions.

Cliquer ici pour voir un exemple de nombre dérivé sur EXCEL

Des exercices sur l'équation d'une tangente à une courbe, cliquer ici Et pour leur correction, cliquer ici

La fonction dérivée

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dont la courbe (C) admet une tangente en chacun de ses points.
Donc pour tout x de l'intervalle I la courbe admet une tangente de coefficient directeur f '(x). Ce qui veut dire qu' à tout x de l'intervalle I on fait correspondre le nombre f '(x)
On a donc créer une nouvelle fonction, la fonction dérivée f '
Cliquer ici pour voir un exemple de fonction et sa dérivée sur EXCEL

Attention on a maintenant deux fonctions pour le prix d'une. C'est même encore mieux puisqu'avec une fonction on peut en déduire sa dérivée et l'équation d'une tangente en un point de sa courbe.

f	fonction représentée par sa courbe (C)
f '	fonction dérivée de f
f(x)	Image de la variable x. Sur le graphique c'est l'ordonnée d'un point de la courbe (C)
f '(x)	nombre dérivé. Sur le graphique c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse x

Dérivée et variation

Et voila maintenant pourquoi la notion de dérivée est si importante.
Calculer le coefficient directeur d'une tangente a une courbe c'est bien.
Mais calculer calculer les variations d'une fonction sans avoir tracé sa courbe c'est encore plus fort.

Voici par exemple une fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 3] par sa courbe.
Cette fonction est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 3]
On a représenté trois tangentes qui ont toutes un coefficient directeur positif
Mais toutes les tangentes, aux points dont l'abscisse est dans l'intervalle [1 ; 3], ont un coefficient directeur positif
Or le coefficient directeur d'une tangente n'est d'autre que le nombre dérivé
Donc tous les nombres dérivés f ' (x) pour x appartenant à l'intervalle [1 ; 3] sont positifs.

En d'autres termes :
Pour x appartenant à l'intervalle [1 ; 3] si f est croissante, alors la dérivée f ' est positive sur cet intervalle

De même :
Si la fonction f est décroissante sur un intervalle alors sa dérivée f ' est négative sur cet intervalle

Réciproquement
On admettra les théorèmes suivant :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. et soit f ' sa dérivée sur l'intervalle I :

Si la dérivée f ' est positive sur I alors f est strictement croissante sur I
Si la dérivée f ' est négative sur I alors f est strictement décroissante sur I
Si la dérivée f ' s'annule en changeant de signe sur I alors f admet admet un extremum local sur I

Cliquer ici pour voir un exemple de variation d'une fonction

Comment calculer une dérivée

Il ne reste plus qu'un seul problème :
Connaissant l'expression algébrique d'une fonction, par quel moyen va-t-on en déduire l'expression algébrique de sa dérivée
Il n'est pas question de démontrer les formules qui vont suivre. Les démonstrations sont hors programme de la terminale STG.
Il faut d'abord connaître par coeur le tableau des dérivées des fonctions de référence :

Ensuite apprendre à calculer la dérivée d'une fonction en remarquant qu'elle peut se décomposer en
opérations sur des fonctions de référence.
Par exemple, soit f définie par f(x) = 3x² + 5x + 4
Dans l'expression f(x) on reconnait l'expression de trois fonction de références : x², x et la constante 4
dont les dérivées ont pour expression 2x, 1 et 0

Il faut utiliser le tableau suivant :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et de dérivée u' et v'

donc :
En utilisant les deux premières lignes de ce tableau : produit d'une fonction par un facteur constant et somme de fonctions
f(x) = 3x² + 5x + 4

Attention, dans l'expression de f(x), il y a trois constantes : 3, 5 et 4
Mais 3 et 5 sont des facteurs constants donc on ne les dérive pas
4 est un terme constant, sa dérivée est 0

f '(x) = 3(2x) + 5(1) + 0
et finalement :
f '(x) = 6x + 5

Les deux dernières lignes permettent de calculer la dérivée d'une fonction rationnelle. L'expression algébrique d'une
fonction rationnelle a au moins un dénominateur contenant la variable x.
Des exercices sur le calcul de dérivée ici
leurs corrections ici