EXPÉRIENCE  DE  LA  BARQUE

DE  TSIOLKOVSKI.

 

par Bernard de Go Mars !

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/physique.htm

le 13/10/15

 

Certaines équations de ce texte sont composées dans le format Mathml.  Elles s'affichent correctement dans Firefox, InternetExporer et Chrome.

 

 

Lien où se trouve la version la plus récente de ce texte :

http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/expe_barque_tsiol.doc

 

 

Notes :

On connait 400 ouvrages de Tsiolkovski. Ce sont des dessins techniques des fusées, des calculs, des réflexions philosophiques et des romans de science-fiction sur les voyages interplanétaires.

 

Sommaire de ce texte :

En cherchant à tirer les enseignements de notre animation de l’expérience de la barque de Tsiolkovski :

...(animation versée aux Wiki Commons), nous sommes tombé sur une curieuse différence entre la Vitesse de Fin de Propulsion calculée selon la fameuse formule de Tsiolkovski et la Vitesse de Fin de Propulsion de la barque (après éjection de la même Masse d’Appui sous la forme d’un nombre limité de pierres), la Vitesse d’éjection étant évidemment la même dans les deux cas.

Dans le texte qui suit, nous  mettrons en lumière cette différence et montrerons au passage que de nombreuses intégrations de la formule de Tsiolkovski sont fautives dans leur démarche logique (et sans doute aussi celle du maître lui-même).

Dans le courant du texte nous présenterons également un certain nombre d’expériences permettant de faire ressentir dans leur chair à des élèves, jeunes ou  moins jeunes, ce qu’est la Réaction…

 

 

Début du texte :

 

L’on se souvient de Konstantin Tsiolkovski, qui mena les premières réflexions scientifiques sur la conquête spatiale. :

 

 

Pour exprimer la loi de l’action et de la réaction (3^ème loi de Newton), il eut l’idée de proposer l’expérience de la barque :

Un opérateur se retrouve au milieu d’un lac dans une barque démunie d’avirons. Il constate cependant la présence d’un tas de pierre dans la barque.

Tsiolkovski suggère qu’en projetant une à une chacune de ces pierres, avec la plus grande vitesse possible, l’opérateur pourra donner suffisamment de vitesse à la barque pour rejoindre le bord du lac :

à la place de cette image, mettre l’animation si possible.

Dans cette expérience, il est considéré que la barque avance sur l’eau sans frottement, ce qui est assez conforme à la réalité, du moins pour les petites vitesses.

 

Nous avons retrouvé le texte en russe où Tsiolkovski décrit l’expérience de la barque. Nous le traduisons plus bas d’après une version anglaise.

On peut lire cependant, dans Konstantin Tsiolkovsky His Life and Work, une autre variante de cette expérience, toujours écrite par Tsiolkovski :

« Tout le monde sait, par expérience personnelle, que si l’on se jette à l’eau depuis un bateau (en donnant une vitesse horizontale à son corps) le bateau va se déplacer [dans la direction opposée]. Un tel bateau, avec des hommes qui s’en élancent à intervalles réguliers peut être comparé à une fusée. » [1]

 

Une variante encore différente de l’expérience prônée par Tsiolkovski a été filmée, sans doute sous la surveillance du maître lui-même, dans un film de Science Fiction de 1935 : « Doroga k Zvezdam », de Pavel Klushantsev, film dont on peut trouver une description ici :

 

http://project.mettavant.fr/kosmic.htm

 

Voici une image de l’expérience de la barque :

 

 

On remarque, au-dessus de l’horizon, que le comédien interprétant le rôle de Tsiolkovski vient de propulser l’ancre et sa ligne [2] vers l’arrière de la barque.

 

Cette séquence est visible, à 5’ 56’’ à ce lien :

https://www.youtube.com/watch?v=0KCI-jzJxw4

 

 

Dans ses textes, Tsiolkovski considère également que les avirons d’une barque propulsent cette barque parce qu’ils projettent avec une certaine vitesse une certaine quantité d’eau vers l’arrière. Cette assertion est vraie puisque l’on considère en Mécanique des Fluides que la Traînée d’un corps est directement liée à la diminution de Quantité de Mouvement que ce corps impose au fluide. [3]

 

 

Dans cette animation, les vitesses acquises par la barque sont ici très exagérées : nous avons multiplié à peu près par dix les gains de vitesse de la barque.

Il faut également remarquer que dès que l’opérateur (l’occupant de la barque) fait le moindre mouvement, ce mouvement entraîne par réaction un mouvement de la barque : ainsi lorsque, au début de l’expérience, cet opérateur tend ses deux mains vers l’avant de la barque pour saisir une pierre, la barque se déplace légèrement vers l’arrière, par réaction.

 

 

 

De la permanence du Centre des Masses (CdM) :

 

L’expérience de Tsiolkovski est parfois décrite comme démontrant que la barque avance lorsque l’occupant projette une pierre vers l’arrière parce que le Centre des Masses commun (de tout le système, à savoir : barque, occupant, pierres restantes et pierre éjectée) doit demeurer au même endroit. Ce n’est pas tout à fait vrai : La permanence du CdM commun n’est qu’une conséquence fortuite de la loi de l’action et de la réaction : Le mouvement en avant de la barque se fait très précisément parce que l’opérateur prend appui sur la pierre qu’il projette vers l’arrière, cet appui se transmettant (par son corps jusqu’à ses pied) à la barque.

La loi d’égalité de l’action et de la réaction indique l’égalité instantanée des forces d’action (force vers l’arrière de l’opérateur sur la pierre) et de réaction (force de réaction inertielle de la pierre vers l’avant).

Mais pour ce qui est du CdM du système, sa permanence n’est que fortuite : si d’aventure la pierre projetée doit rencontrer un obstacle (un poteau planté au fond de l’eau en arrière de la barque, par exemple), sa vitesse vers l’arrière va se trouver annihilée sans pour autant que le mouvement de la barque s’en ressente : le CdM commun ne va donc pas demeurer au même point, mais il va migrer vers l’avant, entraîné par le déplacement de la barque…

 

D’ailleurs, il est patent que :

à d’une part : les pierres projetée finissent toujours par rencontrer l’eau rapidement, ce qui annihile de fait la plus grande partie de leur vitesse horizontale [4] ;

à d’autre part : le CdM commun à la barque et aux pierres projetées migre doucement vers le bas puisque les pierres tombent (vers l’eau puis vers le fond de l’eau).

Lorsque l’on évoque, pour expliquer cette expérience de la barque de Tsiolkovski, la permanence du Centre des Masses commun, c’est donc toujours implicitement la permanence de sa projection sur une direction horizontale (l’axe de la barque, par exemple, si le jet des pierres se fait selon cet axe) et si rien n’empêche le mouvement horizontal des pierres : il n’y a guère en fait que dans l’espace, en impesanteur, que la conservation de la position du CdM d’un système peut être constatée clairement [5]…

 

 

 

Quelques calculs :

 

Admettons que chacune des pierres soit lancée par l’opérateur à la vitesse de 10 m/s (le record de jeter du poids est à plus de 20 m pour un poids de 7,26 Kg, ce qui correspond à une vitesse initiale de ~ 14 m/s [6]).

Cette vitesse « d’éjection » de 10 m/s procure à la barque, en première approximation [7], une vitesse en proportion du quotient de la masse de la pierre projetée (prenons 5 kg)par la masse totale de la barque (barque, tas de pierres et opérateur). Prenons cette masse totale comme 250 Kg. Comme la pierre est 50 fois plus légère (5 Kg) que la barque complète (250 Kg), c’est donc un gain de vitesse de 50 fois plus faible que 10 m/s que va cumuler la barque à chaque lancer de pierre (soit 0,2 m/s) (en considérant la masse de pierres embarquée comme constante, dans un premier temps).

 

 

 

Toujours en considérant la masse des pierres restant dans la barque comme constante, la barque aura donc acquis, par le jet de la troisième pierre, une vitesse de 3*0,2 m/s, soit 0,6 m/s : les frottements de la barque dans l’eau (et dans l’air) étant négligeables, la vitesse acquise à chaque lancement de pierre se conserve et chaque nouveau jet de pierre augmente la vitesse de la barque.

 

 

Cependant, la masse de pierres embarquée diminue à mesure qu’on éjecte les pierres qui la constitue et cette diminution est d’autant plus sensible (en valeur relative) qu’on est près de la fin de propulsion.

Cette masse de pierres embarquée constitue pour nous la Masse d’Appui de l’expérience : c’est la masse sur laquelle va s’appuyer l’opérateur pour accélérer la barque.

 

 

 

Le Concept de Masse d’Appui :

 

Cette notion de Masse d’Appui, inventée par Tsiolkovski, est primordiale et nous militons depuis longtemps pour qu’elle soit utilisée dans la pédagogie de la conquête spatiale, à la place du mot ergols.

Les textes anglais utilisent souvent l’expression working mass (masse efficace), quand ce n’est pas à un exécrable concept de fuel (qui signifie tout type de combustible), comme dans le texte du MIT que nous évoquerons plus bas.

 

Cette notion de Masse d’Appui est facile à ressentir intuitivement puisque c’est la masse sur laquelle un corps s’appuie pour se déplacer :

Considérons que lors d’une sortie extravéhiculaire dans l’espace (en impesanteur, donc) deux cosmonautes sans propulseurs se trouvent éloignés de leur vaisseau.

Les lois de la dynamique Newtonienne veulent que, s’ils ne disposent pas de propulseur, ils ne pourront rejoindre ledit vaisseau.

Cependant, ils savent que s’ils se repoussent, ils vont s’écarter l’un de l’autre de sorte que leur Centre des Masses commun va demeurer au même endroit [8] :

 

D’après la NASA citée par Wikipédia, avec l’aide de Starcheuch

 

En conséquence l’un sera propulsé vers les espaces infinis du cosmos, alors que l’autre, si leur poussée commune a bien été orientée, a une grande chance, de rejoindre, sur la vitesse acquise, la sécurité du vaisseau.

La Physique nous indique que lors de cette expérience de propulsion réciproque, chaque cosmonaute a servi de Masse d’Appui à l’autre : chacun s’est donc appuyé sur la masse de l’autre pour se propulser dans le sens opposé.

 

La vitesse acquise dans les deux sens (sur la même droite) par les deux hommes est inversement proportionnelle à leur masse individuelle : un gros astronaute acquerra moins de vitesse qu’un maigre, mais il constituera au contraire une Masse d’Appui plus intéressante pour le maigre (il se dérobera moins à sa poussée).

 

Cette expérience est présentée, avec d’autres, dans la traduction états-unienne d’un des nombreux textes de Tsiolkovski ; voici le schéma que ce travailleur acharné en a dressé de sa propre main :

 

Schéma de Tsiolkovski, dans COLLECTED WORKS OF K. E. TSIOLKOVSKIY, VOLUME II

 

On remarque, au centre de l’image, les deux cosmonautes, les pieds encore en contact, en train de se propulser mutuellement en poussant sur leurs jambes : les muscles des jambes étant les plus puissants du corps humain, les deux hommes peuvent acquérir de la sorte une vitesse supérieure à celle atteinte dans notre expérience précédente (effectuée à la force des bras).

 

Tsiolkovski imagine d’autre part que chaque homme, au terme de sa course, va rejoindre la sécurité d’un vaisseau spatial (les deux vaisseaux, distants de 120 km dans l’hypothèse de Tsiolkovski, sont symbolisés à gauche et à droite de l’image) [9].

 

D’après la NASA citée par Wikipédia

 

Et le fondateur de la science cosmique déclare :

« […] il peut être dit : le mouvement dans l’Espace est impossible sans perte de matière. [10] [11] »

 

On peut également préciser que l’expérience telle que dépeinte par Tsiolkovski poserait de gros problèmes de trajectoires (dans l’Espace proche d’une planète, le choix d’une trajectoire nécessite des calculs complexes qu’on ne peut les réaliser intuitivement).

 

 

 

Notre propre expérience expliquant la loi de l’action et de la réaction :

 

Cependant, il n’est nullement besoin de se rendre dans l’espace pour ressentir dans sa chair la loi de l’action et de la réaction.

Il est plus facile de pratiquer l'expérience (que nous osons qualifier de fondatrice) que nous proposons à nos élèves lorsque nous intervenons dans les écoles de Primaire. Nous proposons cette expérience dans le Primaire, mais elle suscitera un intérêt encore plus grand chez les étudiants, leurs enseignants et, nous en sommes sûr, chez les membres du Conseil Constitutionnel les mieux conservés.

 

Voici cette expérience, adaptée ici à deux garçons :

On demande à deux élèves de se placer face à face, la pointe des pieds de l’un touchant la pointe des pieds de l’autre.

Puis on demande à l’un des deux élèves de placer ses mains sur la poitrine de son camarade dans la position où il pourra pousser fortement sur cette poitrine.

On place un adulte (ou un élève costaud) à 50 cm derrière chaque élève.

On explique alors à l’élève en position de pousser qu’il va devoir le faire très fort immédiatement à l’audition d’un « top » que nous émettrons de façon imprévisible.

 

Bien que nous ayons pratiqué cette expérience des dizaines de fois, nous n’avons presque jamais rencontré des élèves capable d’exécuter de façon immédiate le pousser demandé.

La plupart de temps l’élève pousseur va faire précéder son pousser du lancer d’une jambe en arrière.

D’autres vont le faire précéder d’une mise en déséquilibre vers l’avant (vers son collègue).

Dans les deux cas on arrêtera cet élève en lui demandant de reprendre la position définie au départ.

 

Le plus souvent on n’assistera qu’à un petit pousser poli (qu’on pourrait appeler de courtoisie) motivé par le scrupule de ne pas trop contrarier l’instigateur de l’expérience.

Mais rien que ce léger pousser de courtoisie va projeter le pousseur en arrière (c’est là que l’adulte placé derrière lui peut être utile, bien qu’en général le pousseur rétablisse naturellement de lui-même son équilibre en déplaçant ses jambes).

 

 

La conclusion de cette expérience est évidente : dès qu’un enfant atteint quelques années, il a intégré (et pour sa vie entière) que pousser une masse dans un sens produit inévitablement par réaction une force dans le sens inverse et que cette réaction est d’autant plus forte que la masse poussée est grande relativement à sa propre masse.

Autrement dit, tout humain (et probablement tout animal se tenant debout sur des jambes) sait intimement devoir préparer, par l’adoption d’une certaine posture, la mise en mouvement d’une masse suffisamment forte (le pousser d’une plume, par exemple, échappant sans doute à cette règle, la prise de posture étant plutôt due au fait que pour pousser la plume on va déplacer son Centre des Masses corporel par le mouvement du bras)…

 

À titre de contre-expérience, on pourra demander à l’élève pousseur (ou à un autre) de nous pousser nous-même (à supposer que nous soyons plus lourd que l’élève pousseur, sinon faire venir un humain bien en chair) : Le but de cette contre-expérience est de démontrer que le pousseur sait intimement que plus ce qu’il s’apprête à pousser est massique, et plus il sera lui-même projeté en arrière par son propre poussé.

 

Cette expérience fondatrice que l’on pourrait nommer « expérience du pousseur-poussé » montre bien, nous l’avons déjà dit, qu’humains et animaux intègrent dans leur cerveau dès leur plus jeune âge [12] cet évidence que lorsque l’on pousse on est poussé en retour.

Cependant, même si cette constatation a été faite implicitement depuis l’aube des temps par les humains et les pré-humains, il a fallu le génie extraordinaire de Newton pour qu’elle soit explicitée, c.-à-d. formulée scientifiquement [13]…

 

 

En menant par la pensée cette même expérience à ses limites, on en arrive assez facilement à se persuader que, lorsque nous sautons en l’air, nous propulsons de ce fait la planète Terre dans la direction opposée (vers le bas, ou plutôt « notre bas »). C’est insensible, évidemment, mais c’est un fait physique, même s’il n’est pas naturel d’en prendre conscience,.

 

Beaucoup d’autres expériences quotidiennes permettent la mise en évidence de la loi de l’action et de la réaction [14] :

La force du jet de la douche, celle de la lance de pompier, celle qui met en rotation les rotors d’un lave-vaisselle, le recul de la carabine et du canon [15], le poussé entre deux patineurs [16],l’expérience du lâcher de ballon de baudruche, le fait de souffler dans une paille coudée en la tenant entre des lèvres gardées bien souples [17] :

 

 

 

Voir également au sujet de la réaction des pailles la fabrication de notre tourniquet à réaction :

 

 

Lorsque l’on enclenche la paille de plus petit diamètre dans celle de plus grand diamètre (qui est coudée), on constitue un tourniquet qui tourne très vite lorsque l’on souffle dedans (attention aux yeux)…

 

 

 

Revenons-en maintenant à l’expérience prônée par Tsiolkovski où un opérateur lance des pierres d’un côté pour se propulser de l’autre :

 

Si le tas de pierres est constitué de 30 pierres de 5Kg (soit 150 Kg) et que la barque et l’opérateur pèsent ensemble 100 Kg (soit l’équivalent de 20 pierres), on peut calculer, dans une première approximation, que le premier gain de vitesse (consécutif à la projection de la première pierre) est de :

10 m/s* 5 Kg /(150 Kg + 100 Kg – 5 Kg), soit  ~ 0,204 m/s. [18]

 

Pour la deuxième pierre, le gain en vitesse (qui viendra se cumuler avec le premier gain) sera de même de :

10 m/s* 5 Kg /(150 Kg + 100 Kg – 10 Kg), soit de ~ 0,208 m/s.

Il est un peu plus fort que le premier gain, mais le gain cumulé en vitesse est déjà de 0,204 + 0,208 ~ 0,412 m/s (pour deux pierres lancées).

 

Ceci étant, à mesure que la Masse d’Appui diminue dans la barque, le gain de vitesse procuré par le jet de chaque pierre va devenir plus important (la barque se trouvant plus légère, elle accélère plus facilement). Par exemple, le jet de la dernière pierre donnera un gain de vitesse de 10 m/s* 5 Kg /(100 Kg ), soit ~0,5 m/s

C’est plus de deux fois plus que les 0,204 m/s donnés par le jet de la première pierre.

Il en va ainsi pour les fusées qui emportent nos astronautes : si leur accélération semble faible au début, elle est à la limite du supportable pour ses passagers dans les derniers instants du fonctionnement d’un étage (lorsque cet étage se trouve allégé de la presque totalité de sa Masse d’Appui, c.-à-d. de son combustible [19]).

 

Retournons à notre barque pour constater que, l’ensemble des cumuls de vitesse (à l’issue de l’éjection de toutes les pierres) est de 9,01 m/s (ou 32km/h).

 

 

 

Pour accroître les gains de vitesse et surtout les dernier gains), il faudrait que la Masse à Vide de la barque (seule, sans opérateur ni pierres) soit plus faible et que l’opérateur soit plus léger.

Ce dernier poids reste cependant pour nous un gage de vitesse de propulsion : c’est bien l’opérateur qui représente le moteur (ainsi que les réserves d’énergie) de notre barque à réaction.

 

En prenant une masse de barque de 30 Kg et sans changer de moteur, on a une Masse à Vide (sans pierre) de 80 Kg qui promet un ultime gain de vitesse de 0,62 m/s.

Ce gain ultime ne hisse cependant la Vitesse de Fin de Propulsion qu’à 10,77 m/s.

 

 

Dans l’histoire de la conquête spatiale, tout le travail des ingénieurs à consisté à diminuer la Masse à Vide des fusées (masse de leur structure et des moteurs) et à augmenter la Masse d’Appui embarqué par cette structure.

Mais au fait, quelle est la Masse d’Appui de ces fusées historiques de la conquête spatiale ? Cette Masse d’Appui est la masse des ergols puisque, dans ce genre de fusées, les ergols sont à la fois source d’énergie (cette énergie créant une certaine Vitesse d’Éjection) et Masse d’Appui (puisque ce sont les ergols qui sont éjectés par la tuyère).  [20]

Cette dichotomie est rarement faite dans les esprits (même ceux des fuséistes) : Il est donc bon de répéter que les fusées à feu fonctionnent à réaction (comme les avions à réaction), mais que la réaction n’est en rien liée à la présence du feu [21]. La preuve en est que nos fusées à eau fonctionnent fort bien : on peut donc les ranger dans la catégorie peu fréquentée des véhicules à réaction froide.

 

Rappelons aussi que dans le cas des moteurs ioniques (qui équipent à présent bon nombre de satellites) ainsi que dans le cas de nos fusées à eau, Masse d’Appui et source d’énergie sont parfaitement dissociées (gaz rare et électricité, d’un côté, eau et air comprimé de l’autre).

 

 

 

La Vitesse d’Éjection des pierres depuis notre barque de Tsiolkovski, vitesse que nous avons prise à 10 m/s, est à rapprocher de celle obtenue par les tennismen qui procurent à leur balle de service une vitesse de  ~200 km/h, soit ~ 55 m/s.

Il n’est pas question, bien sûr de faire projeter à un tennisman embarqué de lourdes pierres au moyen d’une raquette, mais on pourrait imaginer de projeter des balles de tennis avec une vitesse de, disons, 40 m/s (ou 144 Km/h). Ce qui signifierait qu’au lieu d’embarquer, comme Masse d’Appui, un tas de pierres, on embarquerait la même masse de balle de tennis  [22] [23].

Cette Masse d’Appui constituée de balles étant projetée (à l’aide d’une raquette) quatre fois plus vite que ne peuvent l’être les pierres, la Vitesse de Fin de Propulsion que l’on peut escompter pour la barque serait près de quatre fois supérieure.

Notre tableur nous la promet à 32,4 m/s (au lieu de 9,01 m/s).

 

Il est d’ailleurs un fait qu’en fuséologie classique (et non en jet de pierres ou de balle de tennis), la Vitesse de Fin de Propulsion est proportionnelle à la Vitesse d’Éjection : cette proportionnalité a été démontrée par Tsiolkovski en sa fameuse formule que nous étudierons plus bas.

 

Bien que dans cette expérience de la barque de Tsiolkovski nous ne soyons pas en fuséologie classique, notre tableur nous indique qu’il a un net bénéfice à projeter chaque particule de Masse d’Appui avec la plus forte vitesse possible.

 

C’est, ce que font les hydro-fuséistes sans parfois bien s’en rendre compte : quitte à projeter une certaine quantité d’eau (on prend souvent comme quantité d’eau le tiers du volume de la bouteille qui constitue le moteur de la fusée), il vaut mieux en effet l’éjecter le plus vite possible, donc adopter la pression la plus forte possible [24].

C’est ce que font également les moteurs ioniques qui projettent électriquement leur Masse d’Appui (du Xénon) avec des vitesses dix fois supérieures (en ordre de grandeur) à celle des moteurs thermochimiques classiques [25].

 

Apprécions encore au passage l’étonnante similitude de fonctionnement de nos fusées à eau et de ces moteurs ioniques qui semblent constituer l’avenir de la conquête spatiale.

 

 

Notons aussi que dans cette expérience de Tsiolkovski version tennis, la vitesse précédemment atteinte en mode pierres (9,01 m/s en fin de propulsion) est atteinte en mode tennis au bout de la 893^ème projection de balles, ceci alors qu'il reste encore 1738 balles dans la barque.

 

On pourrait se dire alors qu’il vaut mieux embarquer 893 balles de tennis (soit ~51 Kg) que 150 Kg de pierre, mais c’est encore plus fort parce que si l’on n’emporte comme Masse d’Appui que ces 893 balles (soit 51 Kg) au lieu de 150 Kg de balles on peut atteindre, à l’issue de leur projection par la raquette à toujours 40 m/s, une Vitesse de Fin de Propulsion de 16,48 m/s (ou 59 km/h) du fait de l’allègement de la barque en Masse d’Appui…

 

 

Cette vitesse très forte n’honore évidemment pas notre hypothèse de base spécifiant que la barque se déplace sans frottement dans l’eau : à cette vitesse de 59 Km/h un bateau développe énormément de Traînée hydrodynamique.

Mais on peut quand même se livrer à une optimisation [26] de l’emport de balle de tennis. Le simple emport d’une Masse d’Appui de 3 Kg (soit 53 balles) promet ne Vitesse de Fin de Propulsion de l’ordre de 1,2 m/s (soit 4,2 Km/h) vitesse très honorable (c’est celle d’un homme au pas) pour laquelle la Traînée aquatique peut encore être négligée…

 

La projection de ces 53 balles doit pouvoir se faire par un joueur de tennis non-professionnel. En comptant 5 secondes entre chaque éjection de balle, notre tableur calcule qu’à la 53^ème éjection (toujours à 40 m/s), le chemin parcouru est déjà de 158 m et la Vitesse de Fin de Propulsion de 1,2 m/s promet encore une belle course de la barque sur son erre [27], comme disent les marins…

 

 

D’une façon générale, il est instructif de se référer pour tous les calculs que nous avons effectués ci-dessus à la formule de Tsiolkovski (bien que, nous le verrons, cette formule ne convienne pas exactement au cas de l’expérience de la barque de Tsiolkovski).

Cette formule de Tsiolkovski exprime la Vitesse de Fin de Propulsion d’une fusée d’après la Vitesse d’Éjection de sa Masse d’Appui et d’après ce que l’on appelle le Rapport de Masses, quotient R de la masse de l’engin à l’instant initial (Masse à plein) sur sa masse à l’instant de fin de propulsion (Masse à vide ou à sec) [28].

Voici cette formule de Tsiolkovski lorsque la propulsion se développe dans un espace sans gravité [29] :

 

 $V_{\mathrm{FinProp}}=V_{\mathrm{éject}}Ln\left[\frac{M_{\mathrm{àPlein}}}{M_{\mathrm{àVide}}}\right]$

 

…ce qui s’écrit encore :

$V_{\mathrm{FinProp}}=V_{\mathrm{éject}}Ln\left[R\right]$

…où la mention Ln signifie Logarithme népérien (ou naturel), fonction disponible sur la plupart des calculettes.

Nous démontrons cette formule dans notre texte AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA FAMEUSE FORMULE DE TSIOLKOVSKI.

 

Si nous reprenons l’exemple de l’expérience de la barque Tsiolkovski en mode tennis, avec une Masse d’Appui de 3 Kg (53 balles) projetée à 40 m/s à partir d’une barque pesant avec son opérateur 100 Kg (Masse à vide, sans les balles) nous pouvons écrire :

 

$V_{\mathrm{FinProp}}=40Ln\left[\frac{100\; +\; 3}{100}\right]$

 

Le logarithme népérien de 103/100 = 1,03 étant 0,02956, la Vitesse de Fin de Propulsion est de 1,18 m/s (que nous avons arrondie plus haut en 1,2 m/s) [30].

 

 

 

Une curiosité : la différence entre les propulsions instantanée et progressive :

 

En effectuant des calculs rapides pour illustrer ce texte, nous sommes cependant tombé sur une curiosité : La vitesse calculée par l’équation de Tsiolkovski ci-dessus, (vitesse que nous aurons l’occasion d’appeler dans le présent texte Vitesse de Tsiolkovski) est réputé être indépendante du débit avec lequel la Masse d’Appui est éjectée (débit en Kg / seconde).

De fait, ce débit n’apparaît nullement dans l’équation.

Or nos calculs nous ont convaincu que si l’on lance par exemple toute la Masse d’Appui de la barque (toutes les pierres) en même temps (en un seul jet) et ceci à un Vitesse d’Éjection donnée (en supposant que cette éjection des 150 Kg de pierres soit possible), on y gagnerait une Vitesse de Fin de Propulsion beaucoup plus faible que si l’éjection de la Masse d’Appui se fait de façon répartie dans le temps.

 

Montons la Masse d’Appui des pierres à 250 Kg (50 pierres). L’éjection de ces 250 Kg d’un seul coup à 10 m/s ne produit qu’une Vitesse de Fin de Propulsion de7,14 m/s alors que l’éjection des 50 pierres (une par une) produit une Vitesse de Fin de Propulsion de 12,35 m/s (vitesse supérieure à la Vitesse d’Éjection, comme on peut le remarquer [31]).

 

La Masse Finale de la barque étant de 100 Kg et sa Masse Initiale (chargée de pierres) de 350 Kg, son Rapport de Masses est de 350/100 = 3,5.

Pour comparaison, ce Rapport de Masses, entré dans la formule de Tsiolkovski conduit à une Vitesse de Tsiolkovski de 10 m/s*Ln[3,5] = 12,53 m/s (supérieure également à la Vitesse d’Éjection) qui est donc la Vitesse de Fin de Propulsion à attendre d’une propulsion parfaitement progressive (les pierres étant, par exemple réduites en poudre et éjectées sous cette forme à la vitesse de 10 m/s à débit constant)…

 

 

Ce constat est troublant. Nous en sommes resté surpris et un peu anxieux, jusqu’à ce que nous découvrions un texte du Massachusetts Institute of Technology faisant mention de ce curieux phénomène.

 

 

Ceci dit, on peut assez facilement démontrer que l’éjection instantanée de toute la Masse d’Appui ne peut produire qu’une vitesse assez faible et toujours inférieure à la Vitesse d’Éjection.

En effet, dans ce cas de l’éjection instantanée, pour mettre en mouvement la barque, l’opérateur s’appuie sur la Masse de pierres (250 Kg) qu’il éjecte horizontalement. Aussi lourde soit-elle, cette masse de pierres va reculer lorsque l’opérateur va s’appuyer dessus, la barque étant également assez lourde à mettre en mouvement (100 Kg) [32].

Si la Masse de pierres ne reculait pas, alors l’opérateur qui la repousse à 10 m/s donnerait à la barque une vitesse d’également 10 m/s : ce cas est celui qui se présente lorsque l’opérateur repousse le quai, par exemple, à cette vitesse de 10 m/s…

Ce cas est de même celui des fusées que l’on fabrique avec un tube d’aspirine en enfermant du bicarbonate et du vinaigre : lorsque le bouchon du tube est refermé et que ledit tube est posé à l’envers (bouchon en bas) sur une table, la Vitesse d’Éjection du bouchon (qui est posé sur la table) est également celui de la table et plus généralement de la Terre : notre planète est bien repoussée vers le bas, mais son mouvement (ou recul) est insensible. Et comme il n’y a pas de glissement sensible du bouchon vers le bas, la Vitesse d’Éjection de ce bouchon est également celle de la fusée…

 

La vitesse de fin de propulsion atteinte par les fusées-aspirine est donc exactement la Vitesse d’Éjection de la Masse d’Appui (cette Masse d’Appui étant le bouchon, la table et la Terre). [33]

 

 

Comme support à notre réflexion, nous avons construit un tableau Excel.

Voici la courbe que donne ce tableau de la Vitesse de Fin de Propulsion atteinte selon le nombre de partition de la Masse d’Appui (on scinde cette Masse d’Appui en n parties et on éjecte ces parties au cours de n jets) :

 

 

La première abscisse est évidemment 1 (un jet unique de toute la Masse  d’Appui).

En ordonnées sont portées ce que nous nommons les Vitesses réduites de Fin de Propulsion : Pourquoi réduite ? Parce que la Vitesse de Fin de propulsion d’une fusée classique (ou Vitesse de Tsiolkovski) étant proportionnelle à la Vitesse d’Éjection, il est élégant de s’affranchir de toute mention à cette Vitesse d’Éjection en ne s’intéressant qu’au quotient :

 

Vitesse de Fin de Propulsion / Vitesse d’Éjection

 

…quotient que nous avons nommé Vitesse réduite de Fin de Propulsion

 

 

À l’issue d’une propulsion progressive, cette Vitesse réduite de Fin de Propulsion est alors évidemment Ln[R] [34], si R est le Rapport de Masse présidant à la propulsion : Cette Vitesse réduite de Fin de Propulsion est représentée sur le graphe ci-dessus par l’horizontale rouge.

 

L’étude de la courbe bleue ci-dessus, établie pour un Rapport de Masses fixé à 3,5 (250 Kg de pierres et 100 Kg de barque et d’opérateur), montre bien que, pour un nombre de jets de 1 et 2, la Vitesse réduite de Fin de Propulsion reste :

à d’une part nettement inférieure à l’unité (c'est-à-dire que la Vitesse de Fin de Propulsion reste inférieure à la Vitesse d’Éjection) ;

à d’autre part très inférieure à la Vitesse de Fin de Propulsion obtenue par une propulsion progressive (horizontale rouge) ou par une progression par un grand nombre de jets (50 ou 100).

 

Il n’y a donc que pour un grand nombre de jets (une centaine) que la Vitesse réduite de Fin de Propulsion est assez peu différente de celle produite par une propulsion progressive (la masse de pierres étant, par exemple, réduite en poudre et éjectée à débit constant, ce qui donne l’horizontale rouge).

 

 

Les calculs présents dans notre feuille de tableur reposent sur le constat suivant :

Si un mobile donné éjecte (dans un espace vide sans gravité) une certaine masse m avec une vitesse relative V_Éject, il acquière de ce fait une certaine Vitesse de Fin de Propulsion V_FinProp :

 

La loi de conservation des Quantités de Mouvement, qui conduit (dans un espace vide sans gravité) à une permanence du centre des Masses commun, impose que :

 

M_FinProp*V_FinProp = m*V_Abs

 

La Vitesse V_FinProp  est une vitesse absolue [35] ainsi que V_Abs , la vitesse de la masse m éjectée.

 

On ne connaît pas immédiatement V_Abs, mais on dispose cependant de la relation :

 

V_Abs = V_Éject – V_FinProp

 

…ce qui signifie que la vitesse absolue de la masse éjectée m est la Vitesse d’Éjection diminuée de la Vitesse vers la gauche de la masse M_FinProp. [36]

 

Il est donc licite d’écrire :

 

M_FinProp*V_FinProp = m*[ V_Éject – V_FinProp]

 

D’où l’on peut tirer :

 

V_FinProp [M_FinProp + m] = mV_Éject

 

..ou encore :

 

$V_{\mathrm{FinProp}}=V_{\mathrm{éject}}\left[\frac{m}{M_{\mathrm{FinProp}}+m}\right]$

 

 

Il apparaît donc au numérateur de la fraction la somme des deux masses en jeu (M_FinProp, la masse de Fin de Propulsion et m, la masse éjectée).

Or cette somme recompose (nous pensons que c’est fortuitement) la Masse initiale du système (masse totale avant le jet de la Masse d’Appui). On peut donc réécrire ce dernier résultat sous la forme :

$V_{\mathrm{FinProp}}=V_{\mathrm{éject}}Ln\left[\frac{m}{M_{\mathrm{init}}}\right]$

…libellé où M_init est la masse totale du système avant le jet et m la Masse d’Appui éjectée par le jet.

 

 

À ce stade de la démonstration, on ne peut qu’être persuadé que ce libellé encadré ne vient pas intuitivement : on y arrive après une manipulation mathématique qui, pour simple qu’elle est, ne peut être réalisée « de tête » par un cerveau ordinaire.

 

 

Ce même libellé encadré s’oppose, d’ailleurs, à un libellé fautif que l’on rencontre souvent, à savoir :

 

$V_{\mathrm{FinProp}}=V_{\mathrm{éject}}\left[\frac{m}{M_{\mathrm{Finale}}}\right]$

 

ou, évidemment :

 

V_FinProp M_Finale = V_Éject m

 

Ce libellé est fautif dans la mesure où, lors de sa démonstration, ont été confondues V_Éject et V_Abs , cette dernière vitesse étant, ainsi que nous l’avons vu, la vitesse absolue de la masse éjectée m [37].

 

Certes, au moment du décollage, il n’y a pas beaucoup de différence entre V_Éject et V_Abs mais la formule de Tsiolkovski intègre la propulsion de la fusée tout au long de sa propulsion et pas seulement au décollage.

 

Il faut d’ailleurs noter qu’il existe pour les fusées lanceuses de satellites un moment où V_Abs , la Vitesse absolue des gaz éjectés, est nulle alors que V_Éject peut être prise comme une constante des moteurs de fusées. Ce moment où V_Abs = 0 intervient vers la moitié de la propulsion et correspond à un maximum du rendement énergétique (puisque les gaz éjectés sont abandonnés dans la nature sans énergie cinétique)…

Lorsque l’on observe la propulsion des fusées à eau, on voit également très bien ce moment où l’eau (éjectée par exemple à 100 km/h) est abandonnée sans vitesse par la fusée (parce la vitesse de celle-ci est également 100 km/h).

 

L’animation suivante montre mieux encore : l’étude du sillage de gouttes d’eau de la fusée prouve que la fusée, vers la fin de sa propulsion, abandonne l’eau avec une vitesse verticale vers le haut !

 

notre animation .gif MiniJab Papyjo

ou :

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sillage_MiniJab_Papyjo.gif

 

 

La vidéo d’origine, comme la fusée (nommée MiniJab), est due à Papyjo (voir son site très pédagogique) :

 

 

Cette fusée (ici présentée avec sa trappe parachutale ouverte) est une fusée de 0,5 L « plein-goulot » de 82 g , lancée ici à la pression initiale de 8 bars avec un quota d’eau de ⅓.

 

Sur l’animation, on voit nettement dans le sillage de la fusée de grosses goutes qui, une fois agglomérées, continuent leur ascension (avant de reprendre évidemment le chemin du sol sous l’effet de la gravité).

 

Cela signifie tout simplement que la vitesse/sol acquise par la fusée est supérieure à sa vitesse d’éjection (celle-ci étant la vitesse relative de l’eau éjectée par rapport à la fusée).

 

Voici une image concaténée tirée de la même vidéo :

 

 

Voici un lien où cette même concaténation est présentée en une unique bande. Cette image peut être téléchargée en plus haute définition à ce lien. 

Nous avons joint, sur les différents vidéogrammes, les images des mêmes gouttes par des segments de droites rouges. 

Il est visible que, dans leur ensemble, ces segments de droites dessinent des courbes (très proches sans doute de paraboles [38]).

 

 

Rassuré par la très faible évolution de la pente de ces segments rouges, nous avons même osé dessiner (en jaune) une proposition de segment initial, entre les deux premières images :

 

 

Cette proposition jaune tend à indiquer que la première image a été captée un peu avant la fin de l’éjection de l’eau.

 

 

Le travail de dessin des segments rouges est assez aisé pour les gouttes les plus hautes mais plus difficile pour celle du bas.

Il apparaît cependant nettement que sur la grande planche de concaténation nos segments rouges reliant les gouttes du bas dessinent des courbes dont la culmination se produit avant celle des gouttes du haut.

 

Par définition, c’est à une certaine hauteur du sillage de la deuxième image de cette grande concaténation (correspondant à la fin de la propulsion « aqueuse », qu’il faut chercher les particules d’eau qui sont abandonnée sans vitesse verticale ; voici cette deuxième image :

 

En effet, dans les images suivantes, l’inertie et la gravité font leur œuvre : les particules d’eau dotées d’une vitesse vers le haut vont continuer à monter alors que les particules d’eau abandonnée sans vitesse par la fusée vont commencer à descendre sous l’action de la gravité, les particules d’eau abandonnée avec une vitesse vers le bas augmentant cette vitesse…

Malheureusement, nous ne pouvons repérer ces particules éjectées sans vitesse verticale sur les images, même si nous savons que ces mêmes particules ne peuvent, par principe, que se trouver à une certaine hauteur du sillage d’eau de l’image ci-contre.

 

 

On pourrait penser que se produise, au bout d’un certain temps, en ce point du sillage où des particules d’eau sont abandonnées sans vitesses, une striction ou même une interruption du sillage puisque de part et d’autre de ce point la vitesse des particules d’eau tend à les éloigner dudit point. Ce point de striction ou d’interruption du sillage étant indiscernable sur les images, nous avons vérifié s’il pouvait exister.

Nous avons donc fait tracer à notre tableur un ensemble de paraboles représentant les trajectoires de différentes particules abandonnées à une certaine hauteur avec une certaine vitesse verticale : cette vitesse est négative pour les particules abandonnées à l’altitude la plus faible puis nulle pour la particule abandonnée à 0,5 m d’altitude, puis positive (vers le haut) pour les particules les plus hautes.

 

Nous avons donné une légère vitesse horizontale vers la gauche à toutes les particules afin qu’elles dessinent leur propre parabole sous les actions conjuguées de la gravité et de ce mouvement vers la gauche (dans un tel mouvement parabolique, l’action de la Traînée aérodynamique sur les particules est négligée).

Force nous est de constater qu’aucune zone de vide ne se crée entre les paraboles bien que les particules de la courbe bleue glauque et verte soient animée d’une vitesse verticale initiale contraire et que les particules de la courbe bleu claire ne soient animées d’aucun vitesse verticale initiale.

La courbe fuchsia est le lieu des culminations des courbes…

 

Il faut donc lire autrement la ou les strictions ou zones de vide relatif qu’on croit apercevoir dans la concaténation serrée que nous avons réalisée d’après la même vidéo (zone indiquée par la croix rouge ci-dessous) :

 

Dans la partie haute de cette concaténation serrée, notre report successif des gouttes de sillage dessine bien un ensemble de paraboloïdes.

 

Nous avons d’ailleurs constaté, lors de ce travail de concaténation, que les paraboloïdes supérieurs croisent dans leur partie basse les paraboloïdes inférieurs : cela signifie que la plus forte vitesse verticale des particules possède la vertu d’épuiser leur vitesse horizontale vers la gauche (c’est ce qui explique que la trajectoire d’un corps lancé en l’air avec une vitesse horizontale est toujours plus proche de la verticale à la redescente : on s’en persuade facilement en projetant obliquement en l’air une plume).

Cela implique aussi que lesdits paraboloïdes ne sont pas des paraboles mathématiques.

 

Dans la partie basse, nous nous sommes risqué à tracer un paraboloïde rouge, mais ce tracé est assez téméraire.

 

Sous ce paraboloïde rouge semble exister une zone d’absence relative de gouttes (indiqué par un x rouge).