B.Omar Al-Khayyâm
Né à Nishapour en 1048, Omar Al-Khayyâm a passé toute son enfance et son adolescence à Balkh, une ville voisine.Il y aurait acquis ses connaissances en science et en philosophie.Il réalise à 22 ans sa premiére publication géométrico-algébrique d'une dizaine de pages intitulé « Epitre sur la division du quart de cercle ».Il séjourne à Samarcante où il établie une théorie géometrique sur les équations au troisiéme degré.Al-Khayyâm quitte Samarcande pour s'installer à Ispahan, où il séjourne 18 ans.Ces années seront pour lui les plus calme et féconde dans le domaines scientifique, philosophique et littéraire.Une seule certitude, l'astronomie y prend une grande place puisque qu'il dirige alors une équipe de savants qui collaborent avec lui à l'observatoire de la ville pour réaliser des tables astronomique vers 1079.Il achéve un travail collectif d'importance commandé par le sultan Malik-Shah lui même destiné à préparer la réforme du calendrier.
a.Samarcande
Omar Al-Khayyâm, sur l'invitation d'un riche mécène, arrive à Samarcande se trouvant alors sous le joug des Turcs Seljougides.Ville prospère et culturelle de premier plan, Samarcande est également la première cité à posséder une usine à papier.Depuis sa prise en 712 par les musulmans, elle ne cesse de se développer et son dynamisme économique atteindra son apogée au Xe siécle.Pendant la période où y séjourne Al-Kharyyâm, son prestige culturel et scientifique atteindra la Chine.
b.Le traité d'Al-Khayyâm
Le traité d'Al-Khayyâm contient une classification des équations et des constructions géométriques des racines au moyen desquelles le nombre et l'existence des racines positives sont déterminés.Les équations sont étudiées sous une forme générale, c'est-à-dire avec des coefficients positifs quelconques, mais exprimées de façon entièrement rhétorique.Il s'en tient aux principes de l'homogénéité des dimensions.Il remarque qu'une équation du 3eme degré peut avoir deux racines positives, mais, malgré une analyse très minutieuse, manque la possibilité des trois racines positives, en particulier dans le cas de équation x3+bx=cx²+a.
Al-Khayyâm résout x3+ax par l'intersection du cercle x²+y²=qx et de la parabole x²=py.
c.Les équations au troisiéme degré
Les équations du troisiéme degré ont seule variable qui apparaissent à la puissance 3.Ces équations admettent toujours trois solutions parmi lesquelles deux seulement peuvent être complexes.Un exemple d'équation est :x3-6x²+11x-6=0.Ses solutions sont 1,2 et 3.