II.Les équations italiennes, calcul littéral
Au XIIIe siècle, des traductions de résolutions d'équations au premier et second degré arrivent aux mathématiciens italiens de la Renaissance.
Lorsqu'au XVIe siècle, Cardan et Viète évoquent leurs lointaines prédéceseurs arabes, ils ne font aucune allusion aux équations du troisième degré d'Omar-al-Khayyam.Nul ne contestera donc que le nom de Cardan soit associé à la résolution algébrique des équations de degré 3.Les algébristes arabes n'ayant pas traduit en latin leurs résolutions au troisième, on ne peut pas savoir s'il y a un lien entre les équations élaborées par AL-Khayyam et celles élaborées par Cardan.Viète remontera aussi jusqu'aux Grecs ( Diophante, Appollonius...).
A.Cardan, Viète et Tartaglia
a.'L'Algébre Nouvelle'
Viète:Né a Fontenay-le-Comte en 1540 et mort à Paris en 1603.Il fut juriste à la cour de France.
En 1591, Viète publie à Tours un ouvrage en Latin de 18 pages «L'algèbre nouvelle» qui va révollutionner la pratique des Mathématiques.Le contenu de ce livre n'utilise que des lettres.Il s'agit grâce à cette méthode, de résoudre touts les problèmes non résolus.Il aboutit à une foule de résultats mais aussi à des problèmes non résolus.
b.Notions de Cardan
Cardan:Médecin, mathématicien, physicien, astrologue, inventeur...Né le 24 septembre 1501 à Lavre, il était le fils illégitime de Fazio Cardanno, un juriste doué d'une culture encyclopédique digne d'un phylosophe.Médecin réputé et esprit universel, Cardan écrit dans sa vie prés de 200 articles sur divers sujet.
Au moment où il publie son plus grand ouvrage, Cardan est certainement l'algébriste le plus expérimenté de toute l'Europe.Pourtant son livre est très fastidieux au lecteur moderne car comme les algébristes arabes, Cardan traite de façon distinte un grand nombre de types d'équations du troisième degrè puisqu'il n'admet comme coefficient que les nombres positifs, et cela non seulement dans les équations cubique a résoudre mais aussi dans l'équation du second degré à laquelle il aboutit.Voyons sa méthode :
x3+mx=n (avec m et n positifs)
Il introduit t et v tels que t-v=n et tv=(m\3)3 puis il établit les considérations géométriques, que :
x=3Vt-3Vu
(Notation de Cardan:
Cardan écrit l'égalité :
(5+V_15).(5V_15)=25-(-15)=40
sous la forme :
5p:Rm:15,
5m:Rm:15,
25m:m:15qd est 40
Il note V7+V14 sous la forme R.V.7p:R14.)
(3Vt-3Vu)3=t-u-3(3Vt-3V)3Vt-3Vu,
Il obtient une équation du second degré ayant pour racines:
t=V(n\2)²+(m\3)3+n\2 ;
u=V(n\2)²+(m\3)3-n\2
Cardan obtient x.
c.Un maître en colère
Tartaglia:Mathématicien italien (1499;1557).Il fut l'un des premiers algébristes a avoir...
En 1515, Cardan révéla au public une nouvelle méthodes de résolution d'équations au troisième degré découverte par Tartaglia.L'intérêt de Tartaglia était de faire savoir qu'il connaisait cette méthode mais il devait se garder de publier une approche trop générale.Il confie sa résolution à Cardan qui enseignait dans un collège humaniste.Il dévoila donc la méthode aux élèves provoquant la rage de Tartaglia.