Nous allons nous intéresser
ici plus particulièrement à la spirale
que contient la toile.Nous tenterons d’appliquer les
propriétés des différentes spirales
mathématiques à celle-ci.
Il s’agit ici d’expliquer succintement pourquoi nous
être intéressé en particulier à
la spirales d’Archimède et à la spirale
logarithmique pour la modélisation de la toile.
Prenons les spirales les plus connues :
Commencons par la spirale dite de Théodore de
Cyrène:
Pour la tracer, nous construisons un triangle rectangle
et isocèle (OA0A1) puis, par récurrence
les points A2, A3, A4, …tels que :
-les angles soient
droits :
-les cotés [A(n)A(n+1)] soient tous de la même
longueur
On obtient les tracés suivants :
1ere étape de la construction
2e étape de la construction
Dans le cas de notre spirale, il est évident
que les segments reliant 2 rayons consécutifs
varient.De plus les rayons ne se superposent pas lorsque
la spirale contient plusieurs spires, notre spirale
ne correspond donc pas à une spirale dite de
Théodore de Cyrène.
Il existe également des 'fausses' spirales qualifiées
ainsi car elles sont constituées d'arcs de cercles
au lieu d'avoir une variation continue du rayon.Ces
spirales sont formées à partir de plusieurs
centres.
On peut prendre comme exemple une spirale à quatre
centres géométrique (de progression arithmétique
de raison 1)
Cette spirale est construite à partir d’un carré
de 1 cm de côté (voir figure ci-dessous).
Le long du côté 1-2 de ce carré,
on construit un autre carré de même dimension
dans lequel on trace un arc de cercle de centre 2.
Le long du côté 2-3 du carré original,
on construit un carré de 2 cm de côté
dans lequel on inscrit un nouvel arc de cercle de centre
3. Cet arc est donc relié au premier. Le long
du côté 3-4 du carré de départ,
on construit un nouveau carré de 3 cm de côté
dans lequel on inscrit un 3ème arc de cercle
de sommet 4, arc relié aux deux premiers. Enfin,
on trace le long du côté 4-1 du carré
de départ, un 4ème carré de 4 cm
de côté, dans lequel on inscrit le dernier
arc de cercle de sommet 1.
Le spirale à quatre centres (les points 1, 2,
3 et 4) est tracée.
Les rayons de notre toile semblent se recouper en un
seul point, la spirale que nous étudions semble
posséder un seul centre.Ce type de spirale ne
convient donc pas à notre étude.
En revanche,la toile d'araignée semble pouvoir
à priori posséder les caractéristiques
d'une spirale logarithmique ou d'archimède.(nous
expliquerons pourquoi dans les parties qui suivent)C'est
pourquoi nous nous nous pencherons davantage sur leur
cas respectif.
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