les propriétés de la spirale d'archimède

 

Etude de notre toile :

Nous avons mesuré chaque rayon de notre spirale tous les 45° et nous avons disposé ces valeurs dans le tableau suivant:

rayon1   16,9 32,8 45,2 57,6 69,9 82,7
rayon2 12,8 17,1 33 45,8 57,4 69,7 80,9
rayon3 14 20,1 32,3 44 57,3 68,7 79,4
rayon4 12,6 23,5 34 44,6 55,8 68 79,3
rayon5 12,7 25,5 36,7 47,6 58,6 72,5 84,7
rayon6 15,5 26,5 37,5 49,6 62,9 74,6 86,8
rayon7 15,5 27,3 38,4 50,6 64,5 76,5 86,1
rayon8 16,6 30,4 42,5 55,3 68,1 80,8  

on obtient à partir de ces valeurs le graphique suivant:

Ce graphique semble d'ailleurs indiquer que chaque rayon suit une progression arithmétique entre chaque spire : les courbes représentant pour chaque rayon la longueur de celui-ci en fonction de la spire s'apparentent à des droites.


Puis nous avons calculé pour chaque rayon la distance entre les spires et introduit nos résultats dans un second tableau :

nous pouvons ainsi remarquer que certaines valeurs sont très proches , ce qui nous incite à calculer leur moyenne : M1=12,05

Et nous avons enfin calculé, pour chaque point précédemment répertorié, le rapport de la longueur du rayon par la mesure de l'angle , ce qui nous a encore permis d'établir un tableau de valeurs :

.

Ce tableau est illustré par ce graphique :

Le tableau et le graphique nous montrent que la plupart de ces rapports tendent vers une valeur commune. Nous allons donc calculer la moyenne de tous ces rapports en excluant toutefois les valeurs obtenues pour les deux premières spires(en rouge dans le tableau) :

M2=2,19

D'après le 1, nous déduisons avec la valeur M2 que si notre spirale est une spirale d'Archimède, le "a" cherché serait environ égal à 2,19, alors qu'avec M1 celui-ci serait plutôt égal à 1,92 (12.05/2/Pi). Cette différence étant due aux approximations faites pour obtenir le tableau3.

Nous pouvons donc tracer deux spirales d'Archimède correspondant le plus possible à notre toile : l'une définie par a1 et l'autre par a2 :

On tape la ligne suivante dans maple:

plot((2.19*theta/12,theta=0.57..13.54*Pi),coords=polar);

D'où la courbe suivante:

On peut tenter de superposer la courbe obtenue et la spirale contenue dans la toile:

 

On déduit de tout cela que vers son centre, la toile ne se rapproche pas d'une spirale d'Archimède contrairement à sa partie excentrée qui y parvient avec toutefois une inexactitude relative.

On obtient la modélisation partielle suivante:

Si on complète avec la spirale que nous n'avons pas étudié,on obtient la modélisation suivante:

Le résultat obtenu est très satisfaisant,la spirale la plus adaptée à la modélisation de la toile semble être la spirale d'archimède.Elle ressemble assez à notre toile de départ qui qui étaitla photo suivante: