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Tentative
de modélisation par une spirale d'Archimede.
Pour nous permettre de mieux étudier notre toile,
nous avons placée celle-ci dans un repère
orthonormé.
Ainsi nous avons pu tirer quelques observations:
la spirale part de l'origine du repère
la distance entre chacune des spires semble être
équivalente
Or la spirale géométrique qui présente
ces caractéristiques est la spirale d'Archimède.
Etude de la spirale
d'archimède:
Avant toute démonstration, nous allons présenter
la spirale d'Archimède et quelques unes de ses
propriétés.
La spirale d'Archimède est la spirale "obtenue
par une croissance linéaire du rayon en fonction
de l'angle". Malgré son nom, c'est Conon
de Samos qui l'a découverte il y'a fort longtemps,
vers 280 avant Jesus Christ. Mais Archimède l'a
ensuite étudiée, lui donnant ainsi son
nom.
Elle se décrit mathématiquement par la
formule:
R=a*t+b,avec
a constante et t différent de 0.
ou R décrit le rayon OM et t l'angle(Ox,OM)
; a et b sont deux nombres : a est la quantité
dont R augmente quand t augmente d'une unité,
et b est la valeur du rayon pour t=0.
exemple
R=10*t
Notre spirale part de l'origine du repère,
nous nous pencherons donc
sur une spirale d'Archimède dont l'équation
en coordonnées polaires est :
R=a*t
spirale d'équation R=t/10
Dans une spirale d'Archimède, la distance des
spires par rapport à 0 suit une progression arithmétique
et celle entre les spires est constante : en effet,
si R=a*t et R'=a*(t+2Pi), alors R-R'=2aPi.
Comment démontrer qu'une courbe est une spirale
d'Archimède ?
Propriété : Une courbe est une spirale
d'Archimède si et seulement si le quotient de
la longueur d'un rayon sur l'angle que fait le rayon
avec l'axe des abscisses est une constante.
Démonstration : sens1
:
Soit un point M(R,t) d'une spirale d'Archimède
:
on a donc : R=a*t
R/t=a
sens2:
Supposons que tout point M(R,t) d'une courbe vérifie
R/t=a, avec a constante.
Ce qui equivaut à : R=a*t.
Cette courbe est donc une spirale d'Archimède.
Nous avons maintenant le moyen de vérifier si
une spirale est une spirale d'Archimède.
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