propriétés
On calcule le rapport moyen du rayon vecteur 1 sur le rayon vecteur 2
On obtient une moyenne de 1,038

Ainsi en moyenne :

On en déduit facilement la valeur de k :

D’où :

Ainsi :

Numériquement:
k = ln(1,038)/0,7853

k=0,0475
Ce qui nous permet de retrouver le a moyen de l’équation de la spirale logarithmique qui modéliserait au mieux la toile:

D’où :

En effet on connaît la longueur des rayons (les valeurs sont contenues dans le tableau de la page étude)on connaît égalemnt l’angle (ici en radians)que forme chaque rayon avec l’axe des abscisses:

  spire1 spire2 spire3 spire4 spire5 spire6 spire7
rayon1 0,000 6,283 12,566 18,850 25,133 31,416 37,699
rayon2 0,785 7,069 13,352 19,635 25,918 32,201 38,485
rayon3 1,571 7,854 14,137 20,420 26,704 32,987 39,270
rayon4 2,356 8,639 14,923 21,206 27,489 33,772 40,055
rayon5 3,142 9,425 15,708 21,991 28,274 34,558 40,841
rayon6 3,927 10,210 16,493 22,777 29,060 35,343 41,626
rayon7 4,712 10,996 17,279 23,562 29,845 36,128 42,412
rayon8 5,498 11,781 18,064 24,347 30,631 36,914 43,197

On en déduit le correspondant à chaque rayon:

  spire1 spire2 spire3 spire4 spire5 spire6 spire7
rayon1 1,000 1,348 1,817 2,449 3,301 4,449 5,996
rayon2 1,038 1,399 1,886 2,542 3,426 4,618 6,224
rayon3 1,077 1,452 1,958 2,638 3,556 4,793 6,461
rayon4 1,118 1,508 2,032 2,739 3,691 4,976 6,706
rayon5 1,161 1,565 2,109 2,843 3,832 5,165 6,961
rayon6 1,205 1,624 2,189 2,951 3,978 5,361 7,226
rayon7 1,251 1,686 2,273 3,063 4,129 5,565 7,501
rayon8 1,298 1,750 2,359 3,180 4,286 5,777 7,786

D'ou le a associé à chaque valeur:

  spire1 spire2 spire3 spire4 spire5 spire6 spire7
rapport1   12,538 18,054 18,459 17,452 15,713 13,792
rapport2 12,331 12,222 17,499 18,019 16,754 15,094 12,998
rapport3 12,993 13,840 16,501 16,676 16,112 14,332 12,290
rapport4 11,266 15,589 16,733 16,285 15,116 13,667 11,824
rapport5 10,939 16,296 17,400 16,744 15,293 14,037 12,167
rapport6 12,862 16,314 17,128 16,808 15,814 13,915 12,012
rapport7 12,391 16,191 16,897 16,519 15,622 13,747 11,479
rapport8 12,784 17,370 18,016 17,392 15,890 13,988  

On obtient le graphique suivant:

 


L a spirale n’étant pas tout a fait logarithmique (comme on peut le voir avec les rapports de rayons consécutifs qui varient parfois) on obtient un a légèrement différent d’une mesure à l’autre:


On calcule le a moyen en additionnant tous les différents a obtenus pour chaque rayon et en les divisant par leur nombre total.On obtient numériquement a=15,003

On obtient donc l’équation de la spirale logarithmique qui modélise au mieux la spirale contenue dans la toile

avec a=15,003
et k=0,0475

Pour la modéliser au mieux:
On mesure l’angle que forme le premier rayon avec l’axe des abscisses :

Le dernier rayon forme un angle de -1,45radians avec l’axe des abscisses
On compte 7 spires(qui ne sont pas toutes complètes).L’angle correspondant au dernier rayon est donc :
7*2pi-1,45=42,54 radians soit 13,54pi radians

On modélise cette spirale grâce au logiciel maple,on rentre pour cela la ligne de commande suivante :
plot(15.003*exp(theta*0.0475),theta=0.57.. 13.54 *Pi,coords=polar);
Graphiquement,la courbe obtenue est la suivante:


On peut tenter de superposer cette courbeà la spirale de la toile:

En ajoutant des rayons, un cadre,on peut la modéliser partiellement la toile:

Sil'on rajoute la partie de la spirale que nous n'avons pas considéré.Cela nous donne:

La distance semble être constante entre les spires,c'est pourquoi cette modélisation reste imparfaite,la toile d'archimède semble mieux convenir pour la modélisation de notre toile.

Remarque:Nous aurions pu tenter de modéliser la toile avec une equation avec une exponentielle de base x dont on aurait essayer de retrouver la valeur d'équation:

Toutefois la spirale d'archimède semble être mieux adapteée que ce type de spirale.C'est pourquoi nous nous sommes ici contentés de l'étude de la spirale logarithmique.