propriétés

On peut penser à priori que cette spirale est une spirale logarithmique.
Comment le prouver ?

Cette Courbe a été étudiée par Descartes et Toricelli en 1638, puis par Jacques Bernoulli (1654-1705).
On l’appelle également spirale équiangle, spirale de Bernoulli, spira mirabilis.
Jacques Bernoulli a fait graver une spirale logarithmique sur sa tombe dans la cathédrale de Bâle, avec l’épigraphe : eadem mutata resurgo, "déplacée (mutata), je réapparais (resurgo) à l'identique (eadem)". Cependant, le graveur a tracé une spirale d'Archimède...

Une spirale logarithmique a pour équation en coordonnées polaires (si l’on considère que le centre de la spirale est le centre du repère):

avec a différent de 0 et k constant
Exemple de spirale logarithmique:
Grâce au logiciel maple on modélise la spirale logarithmique d’équation :

Les quotients des longueurs de rayons de la courbe séparés par un même angle sont une constante et ne dépendent que de l'angle.
C'est une propriété nécessaire pour obtenir une spirale logarithmique.
Pour un écart angulaire a donné : R2/R1 = R3/R2 = constante.

Démonstration:
On prend un point A de coordonnées:

et un point B de coordonnées:

Pour que ces 2 points appartiennent à la courbe,ceux-ci vérifient nécessairement les relations suivantes :

et

On calcule le rapport suivant :

D’où,après simplification par a:

ainsi on obtient :

Puis après factorisation:

Ainsi le rapport rayon1 sur rayon2( )ne dépend que de leur écart angulaire.Si l’on prend un écart angulaire constant, alors le rapport entre les 2 rayons vecteurs associés est constant.
Remarque1 : si est supérieur à alors est supérieur à 0 et est supérieur à 1(dans le cas contraire est inférieur à 1).Il en va évidemment de même avec .
Remarque2 :

Ceci est une condition nécessaire pour qu'une spirale soit une spirale d'Archimède.Mais est-elle suffisante la réponse est oui.

démonstration