propriétés

Démontrons la réciproque suivante :si le rapport entre deux rayons vecteurs quelconques de la spirale,séparés par un écart angulaire constant ,est constant alors on a affaire à une spirale logarithmique

On pose:

De plus on fait intervenir la fonction tel que:

le rapport entre 2 rayons associés au même angle est égale à 1,d'où:

Donc d'après ce qui a été énoncé précédemment,on a :

D'où:

On divise les 2 membres par ,on obtient la relation suivante:

On remarque que:

est de la forme:

avec x=

On fait tendre vers ,on obtient:

D'où:

Cette expression est de la forme(avec x=):

On en déduit:

On obtient ainsi l'équation différentielle suivante:

Cette équation a pour solution:

On en déduit:

et avec k constant

Si (2 rayons vecteurs quelconques de la spirale)sont séparés par un écart angulaire constant et que leur rapport est constant,ceci est suffisant pour prouver que la spirale étudiée est une spirale logarithmique.

remarque:On peut calculer également F(x), on prend

D'ou:

Ainsi:

Et: