On calcule le rapport moyen
du rayon vecteur 1 sur le rayon vecteur 2
On obtient une moyenne de 1,038
Ainsi en moyenne :
On en déduit facilement la valeur de k :
D’où :
Ainsi :
Numériquement:
k
= ln(1,038)/0,7853
k=0,0475
Ce qui nous permet de retrouver le a moyen de l’équation
de la spirale logarithmique qui modéliserait
au mieux la toile:
D’où :
En effet on connaît la longueur des rayons (les
valeurs sont contenues dans le tableau de la page étude)on
connaît égalemnt l’angle (ici en radians)que
forme chaque rayon avec l’axe des abscisses:
|
spire1 |
spire2 |
spire3 |
spire4 |
spire5 |
spire6 |
spire7 |
rayon1 |
0,000 |
6,283 |
12,566 |
18,850 |
25,133 |
31,416 |
37,699 |
rayon2 |
0,785 |
7,069 |
13,352 |
19,635 |
25,918 |
32,201 |
38,485 |
rayon3 |
1,571 |
7,854 |
14,137 |
20,420 |
26,704 |
32,987 |
39,270 |
rayon4 |
2,356 |
8,639 |
14,923 |
21,206 |
27,489 |
33,772 |
40,055 |
rayon5 |
3,142 |
9,425 |
15,708 |
21,991 |
28,274 |
34,558 |
40,841 |
rayon6 |
3,927 |
10,210 |
16,493 |
22,777 |
29,060 |
35,343 |
41,626 |
rayon7 |
4,712 |
10,996 |
17,279 |
23,562 |
29,845 |
36,128 |
42,412 |
rayon8 |
5,498 |
11,781 |
18,064 |
24,347 |
30,631 |
36,914 |
43,197 |
On en déduit le
correspondant à chaque rayon:
|
spire1 |
spire2 |
spire3 |
spire4 |
spire5 |
spire6 |
spire7 |
rayon1 |
1,000 |
1,348 |
1,817 |
2,449 |
3,301 |
4,449 |
5,996 |
rayon2 |
1,038 |
1,399 |
1,886 |
2,542 |
3,426 |
4,618 |
6,224 |
rayon3 |
1,077 |
1,452 |
1,958 |
2,638 |
3,556 |
4,793 |
6,461 |
rayon4 |
1,118 |
1,508 |
2,032 |
2,739 |
3,691 |
4,976 |
6,706 |
rayon5 |
1,161 |
1,565 |
2,109 |
2,843 |
3,832 |
5,165 |
6,961 |
rayon6 |
1,205 |
1,624 |
2,189 |
2,951 |
3,978 |
5,361 |
7,226 |
rayon7 |
1,251 |
1,686 |
2,273 |
3,063 |
4,129 |
5,565 |
7,501 |
rayon8 |
1,298 |
1,750 |
2,359 |
3,180 |
4,286 |
5,777 |
7,786 |
D'ou le a
associé à chaque valeur:
|
spire1 |
spire2 |
spire3 |
spire4 |
spire5 |
spire6 |
spire7 |
rapport1 |
|
12,538 |
18,054 |
18,459 |
17,452 |
15,713 |
13,792 |
rapport2 |
12,331 |
12,222 |
17,499 |
18,019 |
16,754 |
15,094 |
12,998 |
rapport3 |
12,993 |
13,840 |
16,501 |
16,676 |
16,112 |
14,332 |
12,290 |
rapport4 |
11,266 |
15,589 |
16,733 |
16,285 |
15,116 |
13,667 |
11,824 |
rapport5 |
10,939 |
16,296 |
17,400 |
16,744 |
15,293 |
14,037 |
12,167 |
rapport6 |
12,862 |
16,314 |
17,128 |
16,808 |
15,814 |
13,915 |
12,012 |
rapport7 |
12,391 |
16,191 |
16,897 |
16,519 |
15,622 |
13,747 |
11,479 |
rapport8 |
12,784 |
17,370 |
18,016 |
17,392 |
15,890 |
13,988 |
|
On obtient le graphique suivant:
L a spirale n’étant pas tout a fait logarithmique
(comme on peut le voir avec les rapports de rayons consécutifs
qui varient parfois) on obtient un a
légèrement différent d’une mesure
à l’autre:
On calcule le a
moyen en additionnant tous les différents a obtenus
pour chaque rayon et en les divisant par leur nombre
total.On obtient numériquement a=15,003
On obtient donc l’équation de la spirale logarithmique
qui modélise au mieux la spirale contenue dans
la toile
avec a=15,003
et k=0,0475
Pour la modéliser au mieux:
On mesure l’angle que forme le premier rayon avec l’axe
des abscisses :
Le dernier rayon forme un angle de -1,45radians avec
l’axe des abscisses
On compte 7 spires(qui ne sont pas toutes complètes).L’angle
correspondant au dernier rayon est donc :
7*2pi-1,45=42,54 radians soit 13,54pi
radians
On modélise cette spirale grâce au logiciel
maple,on rentre pour cela la ligne de commande suivante
:
plot(15.003*exp(theta*0.0475),theta=0.57..
13.54 *Pi,coords=polar);
Graphiquement,la courbe obtenue est la suivante:
On peut tenter de superposer cette courbeà la
spirale de la toile:
En ajoutant des rayons, un cadre,on peut la modéliser
partiellement la toile:
Sil'on rajoute la partie de la spirale que nous n'avons
pas considéré.Cela nous donne:
La distance semble être constante entre les spires,c'est
pourquoi cette modélisation reste imparfaite,la
toile d'archimède semble mieux convenir pour
la modélisation de notre toile.
Remarque:Nous aurions pu tenter de modéliser
la toile avec une equation avec une exponentielle de
base x dont on aurait essayer de retrouver
la valeur d'équation:
Toutefois la spirale d'archimède semble être
mieux adapteée que ce type de spirale.C'est pourquoi
nous nous sommes ici contentés de l'étude
de la spirale logarithmique.
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