Les infinis aberrants de Cantor

Interrogez un physicien des particules sur l'infiniment petit, il vous dira que s'y produisent des choses impossibles et impensables à notre échelle. Tel qu'un photon de lumière qui prouve être à la fois un corpuscule très précisément localisé et une onde aux dimensions multiples et à la position très incertaine dans l'espace.
Interrogez un mathématicien sur l'infiniment grand, il vous dira la même chose : à l'infini, les nombres acquièrent des propriétés impossibles et impensables juste avant l'infini.
 
 

Par exemple, comptez les nombres entiers pairs : 2, 4, 6, 8, etc.      Quel que soit le moment où vous vous arrêtez de compter, vous pouvez facilement calculer que leur nombre est toujours égal à la moitié du nombre total des entiers passés en revue, puisque pour chaque nombre pair, vous devez ajouter un nombre impair pour obtenir le nombre total des entiers.   Et vous voyez clairement que cela restera vrai, même si vous comptez très loin vers l'infini : un nombre impair, un nombre pair, un nombre impair, etc. C'est une alternance impeccable et ultra simple, que vous pouvez continuer à l'infini.    Eh bien, quand vous y êtes précisément à l'infini, et que vous comptez le nombre infini des nombres entiers que vous avez passés en revue, et le nombre des nombres pairs que vous avez pointés une fois pour deux entiers, vous trouvez que ces deux nombres ne sont pas le double et la moitié l'un de l'autre, mais qu'ils sont parfaitement et strictement égaux l'un à l'autre.

 

Il s'y passe donc d'étranges choses à l'infini, pour qu'une propriété vraie . . . jusqu'à l'infini, ne soit brusquement plus du tout vraie lorsqu'on y arrive.     Bien entendu, les mathématiciens sont des gens raisonnables. S'ils sont contraints d'admettre ce fait insensé, c'est qu'il a été prouvé. C'est la conclusion logique d'une démonstration, et un mathématicien ne peut se soustraire à une conclusion logique.  C'est Cantor, le père de la théorie des ensembles, qui a fait cette démonstration.  Nous résumons maintenant sa méthode.

 

Elle commence par une astuce pour comparer tous les ensembles sans avoir besoin de compter tous leurs éléments. Cela permet donc de comparer même des ensembles infinis que l'on ne peut pas compter.
L'astuce consiste à apparier terme à terme deux ensembles, c'est-à-dire à associer tout élément de l'un à un élément de l'autre, et l'on regarde s'il reste quelque chose dans l'un quand l'autre est épuisé. Bien entendu, pour les ensembles infinis, on ne fait pas réellement l'appariement pour tous les éléments : on trouve une méthode de principe, et l'on se demande si, en appliquant cette méthode jusqu'à l'arrivée de l'un à l'infini, il resterait alors quelque chose dans l'autre.
Ainsi, pour comparer le nombre infini des nombres entiers, et le nombre infini des nombres irrationnels, la méthode est la suivante :
        1/ on commence par supposer que l'on dresse une liste exhaustive de tous les nombres irrationnels, et on en fait une colonne verticale.

[Rappelons que les nombres irrationnels sont des nombres qui possèdent un nombre infini de chiffres décimaux, et que dans cette suite infinie, aucune périodicité ne peut être trouvée permettant d'imaginer les chiffres qui viendront à partir de l'analyse des chiffres qui sont déjà venus. "Pi", par exemple, est un nombre irrationnel]

        2/ puis on apparie chaque nombre irrationnel à un nombre entier, en commençant par 1.
En sommes, après avoir fait une colonne avec les nombres irrationnels, on compte combien cette colonne contient de lignes, en partant de 1 et en allant jusqu'à l'infini.
        3/ une fois ces deux colonnes de nombres entiers et de nombres irrationnels mises côte à côte, on se pose la question suivante : le nombre d'entiers étant infini, y-a-t-il encore plus de nombres irrationnels qu'il y a de nombres entiers ? C'est-à-dire,
la colonne des nombres irrationnels continue-t-elle après l'arrivée à l'infini de la colonne des entiers ?

La réponse est oui.
Il suffit pour trouver un nombre irrationnel qui ne soit pas apparié à un entier, de prendre par exemple le 1er nombre irrationnel de la liste et d'en changer le premier chiffre, de modifier son 2ème chiffre pour qu'il soit différent du 2ème chiffre du 2ème nombre irrationnel de la liste, de modifier son 3ème chiffre pour qu'il soit différent du 3ème chiffre du 3ème nombre irrationnel de la liste, etc.
Quand nous aurons atteint à l'infini le dernier nombre irrationnel apparié avec un entier, nous aurons formé un nouveau nombre irrationnel qui sera différent de tous ceux appariés puisque différent de chacun d'eux par au moins un chiffre.
La colonne des irrationnels contient donc au moins un chiffre non apparié avec un entier, et l'on peut continuer, aussi longtemps que l'on veut, à générer de la même façon un nouveau nombre irrationnel qui sera différent de tous les précédents et qui ne sera donc pas apparié, lui non plus, avec un entier. Les irrationnels sont donc plus nombreux que le nombre infini des nombres entiers.
 

La comparaison des nombres entiers et des nombres irrationnels n'a sans doute pas beaucoup de conséquence pratique en elle-même. Mais avec la même démarche, Cantor a démontré des choses "plus graves" si l'on cherche à utiliser les nombres pour représenter les phénomènes physiques, et en particulier pour définir les propriétés des espaces.  Ainsi, on peut démontrer qu'il y a plus de points sur un segment de droite minuscule qu'il y a de nombres dans l'ensemble infini des nombres entiers.   "Pire", on peut démontrer que tout segment de droite, quelle que soit sa taille, minuscule ou gigantesque, contient le même nombre de points, et qu'il y a autant de points sur une droite 1 D que sur un plan 2 D, et même que dans tout un volume 3 D.  Bref, toutes les propriétés "de bon sens" sur le rapport entre les dimensions d'espace qui sont susceptibles de se prolonger de façon continue et régulière jusqu'à l'infini, seraient soudainement caduques à partir de l'infini.    Des propriétés normalement incompatibles entre elles, le deviendraient soudainement à l'infini.