Dimensions en chaîne
 
Quand une courbe se dessine au cours du temps, ses points passent d'une position à l'autre de cette courbe. Avec un attracteur étrange, on ne voit plus des points parcourir une courbe, mais sauter d'un endroit à l'autre d'une surface ?
Eh bien, il faut se rendre à l'évidence : un attracteur étrange ne représente pas l'évolution d'une courbe, mais celle d'une surface.
 
Nous allons faire l'hypothèse que cette mutation de la figure par augmentation du nombre de ses dimensions (surface 2D remplaçant une courbe 1D) aurait à voir avec la mutation de la dimension fractale représentée : une courbe représenterait une dimension fractale "1" et une surface représenterait une dimension fractale "2".
Mais on ne peut comprendre la signification de cette mutation si l'on ne considère que le fonctionnement d'un attracteur étrange, aussi nous devons maintenant proposer une hypothèse générale sur l'enchaînement de tous les types de dimensions. Pour présenter notre hypothèse, nous la résumons dans un tableau.
 
 

 

     - dans la 1^ère ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 0, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des contrastes [revoir E cela].
Les 2 premières cases de cette ligne montrent un fonctionnement analogue à celui que l'on a décrit pour le mode de génération des nombres entiers : instabilité du 0 dont la vibration dévide d'un coup tous les nombres jusqu'à l'infini  [revoir E le chapitre "Reprenons à partir de zéro"].
Nous dirons donc que cette dimension fractale 0 est celle des nombres entiers.
 
     - dans la 2^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 1, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer des trajets [revoir E cela].
Cette dimension fonctionne par la mesure simultanée de deux grandeurs, comme cette caractéristique est aussi celle des nombres complexes, nous dirons donc que cette dimension fractale 1 est celle des nombres complexes.
 

les nombres complexes peuvent s'écrire   a + ib (ou i est la racine carrée de -1)  ou être représentées par un couple de nombre (a,b)

 
     - dans la 3^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 2, et dont nous avons dit qu'elle était spécialement adaptée pour mesurer la déformation interne des corps [revoir E cela].
Dans le chapitre "Reprenons à partir de zéro" [revoir E ce chapitre], nous avons expliqué pourquoi les nombres décimaux réclament une dimension 2 pour être produits et conservés, nous dirons donc que cette dimension fractale 2 est celle des nombres décimaux.
 
     - dans la 4^ème ligne, se trouve la dimension fractale qui a pour partie entière 3. Jusqu'ici nous n'avons pas encore proposé de signification à ce type de dimension.
Nous suggérons maintenant que cette dimension soit celle de l'espace-temps et des repères d'espace-temps tels qu'on les considère habituellement.
La dimension 3 étant spécialisée dans l'interférence des dimensions qui la précédent, nous proposons de considérer cette dimension comme étant celle qui permet de combiner la dimension des nombres entiers, celle des nombres complexes et celle des nombres décimaux.
Comme c'est l'introduction des nombres de base 10 qui permet de calculer de façon commode les nombres dans tous les cas de figure, nous dirons donc que la dimension 3 est la dimension des nombres de base 10.
 
 
 
 

La 1ère ligne correspond donc aux dimensions fractales qui ont 0 pour partie entière. Comme nous l'avons déjà suggéré, ces dimensions servent à calculer les contrastes.

     - dans la 1ère colonne, nous trouvons la figure mathématique qui permet de réaliser la mesure [la légende décrivant la fonction de chaque colonne est en bas du tableau]. Comme un contraste peut se mesurer par un rapport entre deux grandeurs, le résultat de ce rapport est simplement un nombre, et un nombre peut toujours être représenté à l'aide d'un point sur un axe. La 1ère case est donc ici illustrée par un point, mais comme ce point n'est pas fixe et qu'il est au contraire susceptible de se déplacer sans cesse sur une courbe, on dira qu'il s'agit d'un point "non stabilisé". C'est le déséquilibre perpétuel d'un tel point sous l'effet de sa contradiction interne, qui provoquerait son déplacement incessant.
     - dans la 2ème colonne, on trouve la dynamique avec laquelle fonctionne l'instrument de mesure décrit en 1ère case. Comme on vient de le dire, la dynamique d'un point instable, c'est une courbe. On peut dire aussi un trajet.
     - la 3ème colonne correspond à la façon dont s'opère la mesure de la dimension. Ce que l'on mesure en fait, c'est l'effet provoqué par la déformation sur le milieu où elle s'exerce. La nature de la mesure dépend de la nature de cette réaction du milieu. Ici, la déformation consiste à provoquer un contraste, c'est donc sous la forme d'une mesure de proportion que se fait sa mesure.
     - dans la 4ème colonne, nous trouvons la façon dont s'organise la déformation mesurée, c'est-à-dire finalement la façon dont le phénomène nous apparaît dans la réalité. Ici, nous avons donné l'exemple du "fromage" de Cantor qui se construit comme une poussière de Cantor [revoir E une poussière de Cantor] à partir d'une proportion que l'on retrouve identique à toutes les échelles de lecture.

 

Dans chaque coin de case, nous avons une valeur de dimension qui permet de lire le tableau dans un ordre de progression diagonal. C'est une lecture qui est donc à la fois croisée avec la progression des lignes et avec la progression des colonnes.  On remarque que sur chaque diagonale lue du bas à gauche vers le haut à droite, les dimensions sont les mêmes. Cela signifie que la progression diagonale est équilibrée pour toutes les cases dans le sens de lecture des diagonales qui vont du haut à gauche vers le bas à droite.     Quand on tombe sur la valeur 3, cela signifie que l'on est dans la case de la dimension où s'exerce le caractère autosimilaire de la dimension fractale en question.   Pour la dimension 0, c'est donc en 4ème case qu'apparaît ce caractère, et la présence du fromage de Cantor dans cette case est bien cohérente avec ce caractère.      Quand on tombe sur la valeur 2, cela signifie que l'on est dans la case où s'exerce la valeur décimale de la dimension.   Pour la dimension 0, c'est en 3ème case qu'apparaît ce caractère, qui est donné par le résultat de la proportion mesurée.      Quand on tombe sur la valeur 1, cela signifie que l'on est dans la case où s'exerce la fonction complexe de la dimension.   Ici elle n'est pas très "complexe" puisqu'il s'agit d'une seule courbe que l'on trouve en 2ème case.      Quand on tombe sur la valeur 0, cela signifie que l'on tombe sur la case qui exprime la valeur entière de la dimension.   On la trouve ici en 1ère case, qui est celle d'un point "même pas stabilisé". Le nombre 0 pour cette case semble approprié.

 

 

Que l'unité de mesure de cette dimension soit une surface peut se comprendre de la façon suivante :      Il s'agit de mesurer la déformation d'un corps sur lui-même, ce qui implique que tous les points de ce corps se coordonnent de façon permanente entre eux pour s'échanger leur place. Pendant toute la déformation, il faut en effet qu'il n'y ait jamais deux points qui occupent le même emplacement, car cela laisserait des places vides, des trous aux endroits délaissés, et cela créerait des surdensités aux endroits suroccupés.     Chaque point suit donc son propre trajet, ce qui correspond à une dimension 1, et doit jouer en même temps un rôle dans la dimension de densité du corps pour que cette densité reste constante. Or, une dimension de densité est une dimension de contraste de type "0".     Chaque point est donc soumis à l'influence simultanée de 2 dimensions de types différents : une dimension de type "1" et une dimension de type "0".   Quand un point est soumis à la coordination de 2 dimensions similaires, cette coordination peut se résumer dans une seule dimension de type "1", ainsi qu'on l'a vu à la ligne précédente, mais quand chaque point est sous l'influence de deux dimensions de nature différente, elles ne peuvent se combiner et l'évolution du point doit être décrit simultanément par ces deux dimensions.      Deux dimensions, cela fait donc une surface.   C'est à  décrire l'évolution de cette surface que doit servir une dimension fractale "2".

 

 

Si l'on observe toute la 3ème colonne en remontant, on voit que cette mesure se fait en augmentant chaque fois le nombre des dimensions des "instruments de mesure" :   - dans la dimension 3 donc, la mesure se fait à l'aide de points,  - dans la dimension 2 juste au-dessus, la mesure se fait à l'aide de l'intersection de deux courbes,   - dans la dimension 1 encore au-dessus on l'a représentée avec des vecteurs qui occupent toutes les directions de l'espace mais la valeur de ces vecteurs s'exprime finalement par la surface que forme leurs extrémités,   - et dans la dimension 0 enfin, c'est tout un volume que l'on doit comparer à un autre pour mesurer la proportion entre les deux. La proportion entre 2 surfaces ou entre 2 longueurs ne sont que des cas particuliers dans lesquels 1 ou 2 dimensions des volumes à comparer sont nulles.  Si l'on redescend cette 3ème colonne, l'instrument de mesure se transforme donc de la manière suivante : des volumes, des surfaces, des trajets, des points.    La même évolution par gain d'une dimension chaque fois se fait aussi pour les figures que l'on rencontre dans les autres colonnes.   - dans la 1ère colonne, qui concerne "l'unité de mesure", on commence avec un point pour la dimension fractale 1, puis on passe à la courbe, puis à la surface, et enfin au volume.   - dans la 2ème colonne qui concerne la dynamique de l'unité de mesure, on commence par le point fixe avec la dimension 3, puis on continue avec la dimension 0 et la dynamique du trajet continu (on sait que le tableau se poursuit indéfiniment en remettant à sa suite les lignes précédentes), ensuite vient la dimension 1 et la coordination de 2 dimensions qui a valeur de surface constante, puis avec la dimension 2 on trouve l'attracteur étrange dont on a vu par l'exemple du robinet qui goutte, qu'il se construit en groupant des coordonnées par 3.   Au passage, on peut noter que cela implique qu'un attracteur étrange soit donc une figure qui a valeur de volume et dont l'unité élémentaire soit une surface.  - la 4ème colonne concerne la façon dont la dimension apparaît finalement sous la forme du phénomène que l'on observe. On y retrouve aussi une progression de ligne à ligne, mais cette fois cette progression a un caractère plus abstrait car l'on y trouve l'essence de ce que l'on a désigné par "les dimensions selon l'univers"  Cette notion des 4 dimensions selon l'univers [2e colonne, avant les 4 colonnes, proprement dites, du tableau] se réfère aux 4 stades successifs par lesquels passe tout phénomène naturel qui se complexifie, tels qu'ils sont décrits de façon résumée au chapitre 1.2 de la l e partie (Présentation de l'hypothèse) de l'essai « En attendant le Boson de Higgs » . L'essence de ces dimensions selon l'univers est qu'elles ne constituent pas seulement la combinaison d'un nombre de plus en plus grand de dimensions : en naissant, chacune opère une véritable mutation de nature qui la différencie radicalement des autres. On va voir que la valeur des dimensions fractales correspond à la valeur des « dimensions selon l'univers » qui « font la même chose », ce qui est d'autant plus remarquable que chaque case du tableau des dimensions fractales est décalée d'une dimension, si on la compare à celle du tableau des dimensions selon l'univers   Dans cette 4ème colonne :          - la dimension fractale 0 mesure une certaine densité de mutation. Par exemple, elle peut mesurer dans quelle proportion un solide se métamorphose en liquide, ce qui correspond à l'ultime étape de la dimension 0 selon l'univers, celle que l'on a définie comme étant la dimension des « points séparés » [chapitre 2-4, à la 4 e étape du cycle de formation de la matière].         - la dimension fractale 1 correspond à un mouvement qui fait s'écarter un point dans toutes les directions de l'espace, et qui peut le faire éventuellement errer sans jamais le faire revenir à l'une de ses anciennes positions. Par exemple, lorsqu'elle a la valeur maximale de 1,999999... cette dimension mesure la dispersion complète d'un gaz dans l'air d'une pièce sous l'effet du mouvement brownien de ses molécules [voir E cela - on peut aussi se reporter au chapitre 2-5, à la 5 e étape du cycle de formation de la matière]. Cette dimension fractale est équivalente à la dimension 1 selon l'univers, c'est-à-dire à la dimension que l'on a appelée « du classement », lequel classement culmine dans l'organisation en spirale ou en hélice d'hélice qui parvient à réguler la dispersion dans l'espace de façon similaire sur toutes les échelles [chapitre 2-8, à la 8 e étape du cycle de formation de la matière].         - la dimension fractale 2 correspond à la déformation interne d'un corps. Elle est équivalente à la dimension 2 selon l'univers qui organise le mouvement en cycles fermés [chapitres 2-10 et 2-11, aux 10 e et 12 e étapes du cycle de formation de la matière]. La dimension selon l'univers fait donc très exactement la même chose que la dimension fractale qui lui correspond.         - la dimension fractale 3 correspond à "l'espace-temps traditionnel". Il nous reste à en voir la 4ème case sous laquelle cette dimension nous apparaît.

 

De façon générale, l'idée serait de penser comment chaque dimension est la "dérivée" de la dimension juste au dessus, et sert de "primitive" à la dimension juste en dessous.
L'introduction des dérivées par Newton et Leibniz a été en effet l'instrument mathématique qui a permis tous les développements du calcul scientifique depuis le XVIIème siècle.
Aujourd'hui, on considère toujours qu'une dérivée est le changement instantané que subit la direction d'une courbe : elle serait la limite de ce changement quand la durée de temps tend vers 0. Malgré l'efficacité de cette conception, il était malcommode de penser qu'un changement pouvait être véritablement réalisé en un temps nul : dans un temps nul, un changement ne peut qu'être nul.
Notre hypothèse qui propose que les dimensions soient fondamentalement des déformations, ne rencontre pas cette anomalie. Comme nous considérons qu'un trajet est fondamentalement la coordination de 2 déformations, nous pouvons très bien arrêter l'une des déformations en la rendant nulle, afin de mesurer l'autre déformation qui n'a pas alors de raison spéciale d'être nulle. Dans notre hypothèse, c'est cette valeur que prend l'une des déformations d'un trajet lorsque sa déformation associée s'annule, que nous appelons "dérivée".

La dynamique des dimensions 2 présente un caractère "volumique" qui provoque son caractère statistique, car on ne peut pas calculer les côtés d'un parallélépipède si on n'en connaît que le volume. Peut-être l'analyse de ce tableau permettra-t-elle à quelqu'un de trouver comment trouver l'évolution de la surface d'une des faces de ce parallélépipède, et de connaître ainsi de façon absolue la longueur des arêtes  _?
 

 
 
 Il est rappelé qu'une version continue de cette série de textes sur les dimensions des nombres est disponible en version pdf à l'adresse : dimensions-des-nombres.pdf