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sommaire de la section Mathématique

résumé du livre     

les textes de cette section forment un développement continu qu'il est préférable de suivre dans l'ordre proposé
une version pdf de ces textes regroupés est disponible : Dimensions des nombres

Des dimensions par coordonnées aux dimensions de déformation
 
[début]       00   qu'est-ce qu'une dimension ?
L'évolution de la notion de dimension, depuis l'antiquité jusqu'aux dimensions fractales de Mandelbrot.

[suite]       01   mesure de la déformation d'un contraste
Comment on peut mesurer un phénomène en dehors de toute notion de coordonnée portée sur un axe.
Les différences fondamentales entre dimensions par coordonnées et dimensions de déformation.

[suite]       02   en théorie une dimension de contraste peut-être autosimilaire
Le problème des dimensions qui varient selon l'échelle à laquelle on fait la mesure.

[suite]       03   le piège de la représentation vectorielle des forces
Usuellement on résume une force par un vecteur qui s'applique en un point. Cette représentation conduit à de graves anomalies lorsque l'on veut calculer l'interférence entre plusieurs forces.
Il est proposé un autre type de représentation qui prend en compte correctement les effets de leurs interférences dans toutes les directions, mais qui nécessite de mesurer une infinité de valeurs s'appliquant en un seul point.
C'est l'objet du texte suivant : "compter autrement", que de montrer qu'en fait il est aisé de mesurer une infinité de valeurs par un seul nombre.
 
 
 

Compter autrement
(pourquoi la plupart du temps 0,5 n'est surtout pas entre 0 et 1)
 
[suite]       10   les infinis aberrants de Cantor
Rappel du mode de génération des nombres selon la théorie des ensembles.
Rappel des anomalies qu'il produit lorsque l'on traite des infinis. Les nombres décimaux irrationnels tels que "Pi" ou tels que les Logarithmes comportant des décimales en nombre infini, les anomalies sur le traitement des infinis ont des conséquences très directes sur la mesure des phénomènes physiques.
Rappel de la démonstration par la "diagonale de Cantor".

[suite]       11   reprenons à partir de zéro
Il est proposé un nouveau mode de génération des nombres décimaux qui ne produit pas les anomalies rappelées précédemment lorsque l'on traite des décimales en nombre infini.
Cette nouvelle conception des nombres revient à considérer qu'un nombre décimal possède une valeur de volume, qu'il ne peut donc pas être traduit sans inconvénient par un seul point sur un axe, et qu'il nécessite au moins une surface pour être représenté.

[suite]       12   comment voyager d'un nombre à l'autre
Comment traduire sur un graphique des valeurs entières et des valeurs décimales sans perdre de l'information.
 
 
 

Sur les dimensions fractales de Mandelbrot
 
[suite]       20   les dimensions de Mandelbrot à la rescousse
Notre conception revient à donner aux dimensions à valeurs décimales de Mandelbrot le statut de dimensions "courantes normales".
Les dimensions d'espace en coordonnées entières, que l'on considère habituellement comme prototypes même de la notion de dimension, ne seraient en fait que des "cas particuliers" et non représentatifs des dimensions décimales. En l'occurence, elles ne seraient que des dimensions décimales de valeur décimale nulle.

[suite]       21   dimensions fractales et dimensions d'espace
Ce que signifient les nombres entiers qui précèdent les valeurs décimales des dimensions fractales, tels que le nombre "1" dans la dimension Log 4/ Log 3 ~ "1",2618.
Pourquoi ces nombres entiers n'ont rien à voir avec un nombre de dimensions dans l'espace.
 
 
 

Comment naît une nouvelle dimension dans un phénomène naturel,
et pourquoi avec elle naît le chaos
 
[suite]       30   la continuité des dimensions dans l'espace
Deux points non reliés dans l'espace ne fonctionnent pas forcément comme des points séparés.

[suite]       31   Ian Stewart fait goutter son robinet
Rappel de la "théorie du chaos déterministe" à l'occasion d'une expérience typique qui la met en jeu.

[suite]       32   naissance d'une dimension
Comment et pourquoi une situation de "chaos déterministe" naît inévitablement de certaines circonstances.

[suite]       33   pour voir se qui se passe dans la 4^ème dimension
Les "attracteurs étranges" ne sont pas des courbes sur lesquels des points de déplacent erratiquement : ce sont des surfaces et fonctionnent comme des surfaces.

[fin]         34   dimensions en chaîne
On propose un tableau récapitulant les différents types de dimensions, leur enchaînement et leurs propriétés spécifiques.
On espère que ce tableau mènera à la piste qui permettra de calculer et de prévoir avec précision le comportement des phénomènes dits "chaotiques" tels que la turbulence, en n'étant plus limité dans ce calcul par "la sensibilité aux conditions initiales".
 
 
 
Cette section mathématique est le texte intégral du dernier chapitre du livre dont on peut accéder au résumé :
résumé du livre       "l'adieu au big-bang"
(Résumé de l'ensemble du livre dont sont tirées les sections "Science" et "Mathématique")
Ce livre peut être directement commandé en ligne  avec une remise de 5 %, par l'intermédiaire de la Fnac.com. Pour en savoir plus sur cette possibilité, allez au résumé du livre.

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