Dimensions fractales et dimensions d'espace
 
 

Nous en arrivons maintenant au point crucial, où nous devons penser les dimensions fractales de la façon la plus neuve.    Dans l'espace des coordonnées, la dimension 1 correspond aux courbes linéaires, 2 aux surfaces, et 3 aux volumes.  Habituellement, en partant du même principe, les dimensions fractales sont considérées comme des dimensions d'espace tronquées, "partielles" :

     -  une dimension entre 0 et 1, est supposée correspondre à la capacité d'un ensemble de points à remplir partiellement une ligne sans y parvenir complètement faute d'avoir la valeur entière 1 qui seule le permet ;
     -  une dimension entre 1 et 2, est supposée correspondre à la capacité d'une ligne à remplir partiellement un plan sans y parvenir complètement faute d'avoir la valeur entière 2 qui seule le permet ;
     -  une dimension entre 2 et 3, est supposée correspondre à la capacité d'une surface à remplir partiellement un volume sans y parvenir complètement faute d'avoir la valeur entière 3 qui seule le permet.
 
 

Penser de cette manière, c'est penser avec les vieux réflexes.

C'est brider les dimensions fractales que de les penser comme si elles étaient encore des dimensions de coordonnées. L'information portée par les dimensions fractales est plus riche, et cette richesse n'est révélée que si l'on abandonne complètement ce rapport aux dimensions de l'espace. Les dimensions fractales correspondent à un autre système de repérage, car elles sont des dimensions de déformation, non des dimensions de coordonnées.
Bien entendu, chaque phénomène évolue dans l'espace. Mais chaque phénomène qui y évolue peut-être considéré comme l'interaction d'un nombre quelconque de déformations, chacune d'elle étant mesurée par une dimension fractale.
 
 
 
 

Une dimension fractale comporte deux parties : un nombre entier, puis, après une virgule, un nombre décimal.   Nous avons déjà proposé une signification pour chacune de ces deux parties, nous allons maintenant y revenir de façon plus précise et plus complète, en commençant par le nombre entier.

Nous faisons l'hypothèse que le 1er chiffre d'une dimension fractale, son nombre entier, n'a rien à voir avec une notion de dimension d'espace, et nous en proposons l'explication suivante :
 
 

         "0" :  Nous avons donné précédemment l'exemple [revoir E cet exemple] d'une valeur de contraste mesurée à l'aide de taches sur une feuille. Il s'agissait alors d'un espace 2 D. À la place de taches 2 D, nous aurions pu tout aussi bien prendre des bulles noires 3 D tachant un volume blanc lui aussi 3 D. La valeur de contraste, mesurant par exemple la proportion entre le volume des bulles et le volume de l'espace total, aurait toujours été inférieur à 1.
Une valeur fractale inférieure à 1, dont le 1er chiffre est pour cela 0, n'a par conséquent rien à voir avec une quelconque incapacité à remplir une courbe 1D.
Le chiffre 0 indique seulement que le phénomène n'implique par lui- même le déplacement d'aucun point, qu'il se passe complètement du déplacement de points pour se manifester. Par contre, il implique l'apparition ou la disparition d'un nombre infini de points.
 
De ce fait, les dimensions possédant cette valeur entière 0 sont spécialement adaptées à mesurer des mutations : ce qui était blanc devient coloré, ce qui était jeune devient vieux, ce qui était inerte devient vivant, ce qui était sain devient malade, etc.
Il n'y a aucun déplacement qui puisse relater la transformation d'une personne jeune en une personne vieille, car avant de devenir vieille, une vieille personne n'est nulle part parmi les vieilles personnes. Puis un jour, il ou elle apparaît soudainement parmi les vieux avec cette propriété, semblant venir de nulle part. Puis un jour il ou elle meurt, disparaissant de parmi les vieux en même temps que cette propriété.
 
 
 
         "1" :  Lorsque nous avons reproduit des exemples de courbes fractales (par exemple la courbe en flocon de neige de Van Kock [revoir E cette courbe]), nous avons vu que lorsqu'une déformation implique un déplacement dans l'espace, la valeur entière de la dimension fractale est alors 1.

Ce type de dimension à partie entière 1 est uniquement consacré à décrire le mouvement d'un corps.
Il n'est pas adapté pour décrire ou prévoir la mutation éventuelle de ses propriétés pendant ce mouvement, ce qui est du ressort des dimensions 0 que nous venons de voir.
Il n'est pas adapté non plus pour décrire la déformation qu'il peut subir pendant le mouvement, ce qui est du ressort de la dimension 2 que nous abordons maintenant.
 
 
 
         "2" :  Nous avons déjà suggéré que la valeur entière 2 de la courbe de Peano [voir ci-après sa représentation] avait à voir avec la déformation d'une surface sur elle-même. Nous suggérons maintenant de façon plus générale, que la valeur entière 2 pour une dimension aurait à voir avec la déformation d'un corps sur lui-même. Par cela il faut entendre le déplacement interne coordonné de tous ses points qui s'échangent les uns les autres, mais sans déplacement global du corps lui-même.

Dans la section "science" [voir E ce développement], nous supposons qu'une particule de matière est le résultat d'un mouvement excessivement complexe mais qui fonctionne en circuit fermé, ce qui est très exactement un cas de déformation interne. Tout ce qui met en jeu la stabilité des particules de matière et leur cohérence interne, est donc spécialement concerné par ce type de dimension.
Laurent Nottale qui a cherché a combiner la mécanique quantique des particules élémentaires avec le calcul fractal, aboutit à la même conclusion.
On cite un extrait d'un de ses articles ["L'espace-temps fractal" - Pour la Science - septembre 1995] :
'La dimension deux est, précisément, celle des trajectoires fractales calculées à partir des relations d'incertitude d'Heisenberg'
 

 
 
 

En résumé, notre hypothèse est donc que si la dimension fractale est de la forme 0,x c'est qu'il s'agit d'une valeur de contraste, si elle est de la forme 1,x c'est qu'il s'agit de la valeur d'un trajet, et si elle est de la forme 2,x c'est qu'il s'agit de la valeur d'une déformation interne.     Comme nous l'avons fait pour la valeur 0, nous soulignons que les valeurs 1 et 2 n'auraient rien à voir avec le nombre des dimensions de l'espace où se déroule le phénomène :        - ainsi, un trajet (dimension fractale 1,x) peut tout aussi bien resté attaché à une courbe, qu'évoluer sur une surface, ou se répandre dans l'espace entier ;         - et la déformation d'un corps sur lui-même (dimension fractale 2,x) peut tout aussi bien concerner un corps filiforme, qu'une surface ou un volume.

 
 
 
Si le nombre entier d'une dimension fractale ne donne pas d'information sur l'évolution de la déformation dans l'espace, c'est donc la valeur décimale qui se charge de cette mission.
Pour cela, nous faisons l'hypothèse que la valeur décimale indique comment varie l'intensité de la déformation selon chacune des directions de l'espace.

Si la déformation est confinée à ne suivre qu'une ligne ou à ne rester que sur une surface, la valeur décimale sera telle qu'elle fournira une valeur nulle pour toutes les directions alors interdites.

 
 
 
Autre point important : la partie entière n'aurait rien à voir non plus avec l'intensité de la déformation.

Par exemple, une dimension de valeur 2,1 ne doit pas être considérée comme une dimension plus intense qu'une dimension de valeur 1,1.  Ce point est fondamental lorsqu'il s'agit de comparer les dimensions fractales les unes avec les autres : par exemple, une dimension 1,9999. . . etc., ne serait pas une dimension très proche de la dimension 2. Tout au contraire, elles sont plutôt à considérer comme très éloignées l'une de l'autre : l'une est un trajet extrêmement contourné susceptible de se dérouler même dans un espace 3 D, tandis que l'autre peut ne concerner que la déformation sur elle-même d'une surface, ou encore la déformation sur elle-même d'une courbe linéaire 1 D.      [voir l'exemple donné ci-après]

 
 
 
Il y a encore une subtilité à saisir : on peut envisager une dimension de valeur 2, de deux façons complètement distinctes.
Soit on dit qu'il s'agit d'une dimension 2,0, c'est-à-dire la déformation régulière sur elle-même d'une surface, telle que la réalise par exemple une "courbe de Peano".
 

==>

==>

etc

une "courbe" de Peano pave régulièrement une surface en réalisant à chaque étape une division plus tortueuse entre ses deux moitiés imbriquées :
sa dimension fractale est 2,0
 

Soit on dit que la valeur 2 est à prendre comme la limite à l'infini d'une dimension 1,99999... (et des 9 jusqu'à l'infini). C'est-à-dire qu'elle est considérée alors comme mesurant un trajet qui subit les détournements maximums qu'un trajet peut subir, détournements que l'on peut qualifier de systématiquement et complètement aléatoires.
Cela n'a rien à voir avec une surface: c'est précisément la valeur fractale que l'on reconnaît au mouvement que l'on appelle "brownien", c'est-à-dire celui des molécules d'un gaz qui s'agitent aléatoirement dans toutes les directions de l'espace et avec le maximum d'irrégularité dans leurs trajectoires. Ce faisant, les molécules parcourent bien un volume 3 D et non pas une surface 2 D.
 

un échantillon de mouvement brownien :  sa dimension fractale est 2  mais aurait la signification 1,99999999 à l'infini

 
 
 
On peut aussi envisager de mélanger les dimensions d'espace, et les dimensions fractales.
Ainsi, une éponge de Menger [revoir E cette figure] a une valeur fractale Log 20/Log 3, proche de 2,7268.
La partie entière "2", ne correspondrait pas dans ce cas à l'information sur le type de déformation. Son type correspond à la dimension 0, car la génération de son volume est similaire à celle d'une poussière de Cantor.
La valeur 2,7268 correspond à l'évolution de la surface séparant les volumes vidés et les volumes laissés pleins. Elle aurait donc à voir avec la conversion en terme de surface (d'où la valeur 2 D) d'un processus de génération qui est lui de dimension 0,x.
 
 
 

Pour finir, si les dimensions fractales sont plus générales que les dimensions d'espace, cela implique que des coordonnées dans l'espace ne doivent être alors que des dimensions fractales à valeurs spéciales.   Calculons leur valeur :  Sur les axes de référence de l'espace euclidien, les coordonnées suivent un trajet droit. En tant que trajet, elles méritent donc la dimension fractale entière 1. Et comme ce trajet reste bien droit et ne subit aucune déformation dans aucune direction, elles méritent la valeur décimale 0.    En résumé, les dimensions fractales ne sont pas des dimensions d'espace, spéciales et tronquées, et tout au contraire ce sont les dimensions d'espace qui ne sont que des cas spéciaux et limités de dimensions fractales possédant la valeur très particulière : 1,0.