Comment voyager d'un nombre à l'autre ?
 
On a pris garde de montrer que la génération des nombres entiers et décimaux n'avait rien à voir avec un trajet. Les entiers sont générés tous d'un seul coup, par la désignation du vide. Et les décimaux sont générés individuellement, par des séquences ordonnées de déformations graduées.
On peut cependant avoir besoin de traduire par des nombres les déplacements que font les particules ou les objets dans l'espace. Il nous serait donc utile de trouver une équivalence entre un nombre et un trajet, sans que cette mise en trajet ne fasse perdre aux nombres leurs propriétés.
 
 

Dans cette optique, on peut dire que le trajet qui trahit le moins le mode de génération des nombres entiers est un trajet circulaire qui part de 0 et qui fait une boucle qui signifie "+1" en le faisant revenir en même temps à 0.
Le départ à 0 et l'arrivée à +1 sont confondus, et tous les nombres entiers sont également confondus à ce 0/1.
Produire les nombres entiers, c'est comme tourner sur une boucle sans fin et rencontrer  tous les nombres entiers les uns après les autres, au point de départ et de retour perpétuel confondus de cette boucle.
Apparemment, la seule perte que subissent les nombres entiers par cette mise en trajet correspond à la durée du trajet. Il faudrait pouvoir dire que la durée de ce trajet est nulle, bien qu'il y ait un écart de temps non nul entre chaque nombre pour les différencier.

 
        1/   un premier constat doit être fait tout de suite : quand on part de 0 vers 1, 2, etc. jusqu'à l'infini, on ne s'éloigne pas de 0. Ce qui revient à dire qu'on ne s'approche pas d'un point infiniment éloigné de 0 : on piétine sur place. Le seul rapport à l'infini que cela peut avoir, c'est que l'on peut y piétiner indéfiniment, mais toujours sans avancer du moindre pas.
 
        2/   un deuxième constat est à faire : lors de ce piétinement, on ne peut espérer rencontrer à quelque moment que ce soit un nombre qui ressemble de près ou de loin à un nombre fractionnaire ou irrationnel. Car la boucle qui va de 0 à 0 n'a pas "d'arrêt entre stations". En désignant l'ensemble vide, on a vu que l'on désignait du même coup 0, 1, 2, 3, etc. Mais on n'a rien pu désigner en faisant cela qui soit un intermédiaire possible entre 0, 1, 2, 3, etc. Le trajet qui représente ce processus de création des nombres entiers ne peut donc s'arrêter quelque part dans sa boucle entre deux entiers sans dénaturer le processus qu'il veut équivaloir.
 
 
 

Donc, se déplacer d'un nombre décimal à l'autre, cela devra n'avoir rien à voir avec se déplacer d'un entier vers un autre. Il va falloir dessiner d'autres trajets.
Si l'on tient à démarrer le trajet vers les décimales à partir du nombre entier qu'elles suivent après la virgule, on ne peut que constater que tous les trajets vers les décimales doivent commencer au même point 0, puisque tous les entiers y sont rassemblés.
Si l'on veut maintenant dessiner à partir de 0 une trajectoire qui conserve toutes les informations contenues dans un nombre décimal, on peut le faire en dessinant un réseau hiérarchique de bifurcations tel que celui-ci :

 
 
Ce schéma de circulation offre donc la possibilité de générer des trajets qui vont atteindre tous les nombres décimaux tout en respectant les caractéristiques qui les différencient les uns des autres. Sa lecture amène à faire plusieurs constats :
 
        1/   d'abord, on trouve le cumul à chaque carrefour d'une infinité de nombres, tous ceux générés de la même façon après la virgule mais partant chaque fois après un nombre entier différent. On y retrouve donc la propriété de piétinement qui est celle du trajet qui relie les uns aux autres les nombres entiers. On passe de 1,2102 à 2,2102 par exemple, en reproduisant au carrefour x,2102 la boucle circulaire et sans interruption qui va de 1 à 2.
 
        2/   ensuite, on constate que l'on ne peut pas utiliser un carrefour décimal pour désigner un nombre complet avec sa partie entière et sa partie décimale. C'est la réciproque de ce qu'on avait vu avec le trajet des entiers : on n'y trouvait aucune décimale. Sur le trajet des décimales, on ne trouve cette fois aucun entier.
 
        3/   enfin, contrairement aux trajets des entiers, on trouve bien cette fois chez les décimales matière à voyager jusqu'à l'infini. On peut prendre n'importe quel chemin à partir des entiers et s'enfoncer indéfiniment dans la "profondeur infinie" des nombres décimaux. Tout voyage réellement infini parcourt un nombre irrationnel, ou parcourt un nombre fractionnaire dont les décimales alternent dans une périodicité qui se poursuit indéfiniment.
 
 
 
 

Si maintenant on cherche à mesurer les déplacements que l'on fait en suivant les nombres décimaux, et à rapporter cette mesure aux déplacements que l'on fait en suivant les nombres entiers, on est obligé de conclure que lorsqu'on avance vers l'infini, c'est-à-dire vers l'extrémité des trajets décimaux, on n'avance pas d'un pouce dans la direction des nombres entiers.
En d'autres termes, 3,99999 par exemple, ne peut absolument pas être considéré comme plus proche de 4 que ne l'est 3,2. Au contraire même, si l'on ne parle que de distance à parcourir, on passe plus vite de 3,2 à 4 (1 seule étape dans le parcours décimal) que de 3,99999 à 4  (5 étapes).
Cette anomalie vaut aussi pour les nombres décimaux entre eux. En terme de distance, 3,2 est plus près de 3,9 que de 3,2000001.

Mais faut-il faire ce genre de constatations et partir dans les calculs en se donnant pour acquis par exemple, que 3,2 serait plus près de 4 que ne l'est 3,99999 ?
Ce serait se replonger dans le même type de situation aberrante que celle où Cantor nous avait plongé avec les infinis.
La seule chose raisonnable que l'on puisse faire, est d'admettre ce qui est maintenant évident, à savoir :
        1/   que les nombres entiers sont dans une dimension incommensurable avec celle des nombres décimaux,
        2/   et qu'à l'intérieur même des nombres décimaux, la position dans la queue décimale, est une grandeur incommensurable avec la valeur du chiffre indiqué à cette position.

C'est une situation qui n'est pas nouvelle en mathématique. Le nombre "racine carrée de -1" par exemple, n'est ni positif (son carré serait + 1), ni négatif (son carré serait alors aussi + 1).
Les mathématiciens ont appris à traiter ce genre de nombre que l'on ne peut pas ranger sur une même ligne que les nombres réels positifs ou négatifs, et les ont appelés "nombres imaginaires" ou encore "nombres complexes".
 

Ce qu'il faut désormais admettre, c'est que les nombres décimaux ne peuvent pas non plus se ranger sur une même ligne que les nombres entiers, qu'ils ont avec les nombres entiers le même type de rapport que celui qui existe entre les nombres dits imaginaires et les nombres dits réels.  Dans le cas des nombres imaginaires et des nombres réels, on dit qu'ils sont "dans des dimensions différentes", et que les mettre en rapport ne revient pas à les aligner sur une droite, mais à former un plan que l'on nomme "le plan complexe".  Nous devons maintenant dire, mais de façon "encore plus complexe", que toute combinaison d'un nombre entier avec ses décimales revient à définir les coordonnées d'un point dans "un volume complexe" : il faut d'abord définir les valeurs décimales dans le plan des nombres décimaux, puis, quand le bon carrefour est trouvé "en profondeur et en largeur", il faut donner "l'altitude" qui correspond au nombre entier que l'on veut associer à cette décimale.   Bref, il faut s'apprêter, pour multiplier 2 avec 0,1, à devoir prendre encore plus de précautions que lorsqu'on cherche à calculer la multiplication de 2 avec "racine carrée de -1".

 
En fait, les nombres réels sont aujourd'hui considérés comme formant partie des nombres complexes, seulement différents des autres nombres complexes par la simplicité particulière avec laquelle on peut les manipuler.
De la même façon, nous devons maintenant considérer que les nombres décimaux de base 10 ne sont qu'une partie spéciale de l'ensemble des nombres décimaux : une partie spécialement pratique puisque nous pouvons sans gêne ajouter les décimales de différents nombres comme s'il s'agissait de nombres entiers, et puisque nous pouvons multiplier un nombre fractionnaire avec un multiple de 10 pour transformer sans plus de procès un nombre décimal en un nombre entier.
Malheureusement, la nature n'est pas au courant de cette simplicité, et elle laisse ses phénomènes se développer de telle sorte que, si nous voulons les traduire en termes mathématiques, nous devons utiliser les nombres décimaux dans leurs aspects les plus complexes.
C'est cela que nous allons maintenant considérer.